Bonjour,
Est ce que quand on veut resoudre une équation différentielle du 2eme ordre à coefficient non constant, il est vrai que si on ne nous donne pas une des deux solutions du système fondamentale (donc une des deux solutions qui resoud lequation) on peut trouver une infinité de couple solutions linéairement independznt ?
Javoue navoir aucune idée de la véracité de cette propostion cest pour cela que je vius demande...
Bonne journee à vous
Bonjour,
Je ne suis pas sûr de comprendre la question, mais en général, une équation différentielle du second ordre, quel que soit son type, a des familles de solutions dépendant de deux paramètres.
On peut se dire par exemple que ce sont les valeurs de la fonction et de sa dérivée à un instant donné. Comme l'équation fournit la valeur de la dérivée seconde, cela permettra par intégration de trouver la valeur de la fonction pour les temps ultérieurs.
Bien sûr, il se peut que pour certaines valeurs de la fonction et de sa dérivée, il n'existe pas de valeur de la dérivée seconde qui satisfasse l'équation, ce qui va interdire certains choix pour ces deux paramètres....
Si l'équation est linéaire (à coefficient constants ou pas), le problème sera simplifié, car si on connaît deux solutions indépendantes, alors les combinaisons linéaires de ces deux solutions donneront la famille à deux paramètres cherchée. Et deux quelconques de ces combinaisons linéaires seront indépendantes, sauf dans le cas où l'une est multiple de l'autre.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Mais justement l'idée de l'affirmation serait que sans la conaissance dune des deux solutions ( dont vous prendriez ensuite toutes les combinaisons lineaires) il ne serait pas possible de trouver une solution exacte, on trouverait une infinité de couples possibles.
Par exemple si on considere t y'' - y' + (1-t)y = 0. Ne pourrions nous pas trouver une infinité de couple solutions ? Même en sachant les conditions initiales ?
En principe la spécification de conditions initiales sert à rendre la solution unique.
oui la solution est alors unique, mais avant les conditions initiales on a une infinité de possibilité, et avant de fixer une des deux solutions on a une infinité d'infinité ? c'est ma question. Prennez mon exemple notamment?
Bonjour.
Le fait de donner une solution de l'équation différentielle simplifie la recherche d'une autre solution. Et comme avec les équadiffs à coefficients constants, si f(t) est une solution, kf(t) en est une autre. Donc il y a une infinité de solutions possibles. Mais inutile de parler d'infinité d'infinité, ce qui ne veut rien dire. Et ces solutions ne sont en rien "linéairement indépendantes".
Comme ce que tu racontes est vraiment très peu compréhensible, dis-nous d'où tu sors cette affirmation: "il est vrai que si on ne nous donne pas une des deux solutions du système fondamentale (donc une des deux solutions qui résout l'équation) on peut trouver une infinité de couples solutions linéairement indépendantes ". Une référence ou un auteur.
Dans ton exemple, on peut résoudre facilement et on trouve que toues les solutions sont des combinaisons linéaires de deux fonctions simples.
Cordialement.
Dans mon cours il est ecrit qu'on ne peut trouver de formule générale pour une équation différentielle du 2nd ordre... Et je cherche à comprendre pourquoi. Il est aussi dit qu'à partir d'une solution on trouve la deuxième de façon presque immédiate.
Donc je me suis dit que peut être sans cette première solution il était parfois impossible de trouver les 2 solutions puisqu'ils y en auraient une infinité.
Autre chose, comment résoudre cette equation alors ?
Merci
Et si tu te contentais des affirmations de ton cours, puis de pratiquer la résolution des équations différentielles linéaire d'ordre 2. ce serait déjà pas mal.
Et puis évite de tout confondre : Dire qu'on n'a pas de formule générale ne veut pas dire qu'on ne peut pas traiter des cas particuliers. D'ailleurs, ne pas avoir de formule générale est quasiment toujours le cas en maths. Tu ne t'es pas rendu compte qu'on n'a pas de formule générale pour résoudre les équations (pas différentielles) ? Qu'on n'a pas de formule générale pour factoriser ? Qu'on n'a pas de formule générale pour trouver les primitives ?
Enfin le fait qu'il y ait une infinité de solutions ne dit pas qu'on ne sait pas les trouver. l'inéquation x+3<0 a une infinité de solutions. Et on sait toutes les trouver.
Donc au lieu de chercher au delà de ton cours des choses que tu n'arrives même pas à écrire correctement, commence par bien comprendre ce qui est dans ton cours. Car pour l'instant tu perds ton temps.
mais ça ne répond pas à ma question... dans l'exemple que j'ai proposé, est ce que fixé une des deux solutions permet de restreindre l'ensemble des solutions ou non? et comment trouver cet ensemble puisque vous semblez dire qu'il est presque trivial? merci
Ta question n'a aucun rapport avec ton cours. Et tu ne sembles pas avoir compris que si f(x) est une solution de l'équation a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=0, alors toutes les fonctions kf(x) où k est n'importe quel réel sont aussi des solutions. Et c'est dans ton cours. Donc "fixer une des deux solutions" n'a aucun intérêt.
D'ailleurs, tu ne sembles pas non plus comprendre ce que je t'ai dit : "comment trouver cet ensemble puisque vous semblez dire qu'il est presque trivial?" Qu'est-ce que tu racontes ?
Je me permets de reprendre parce qu'il semble qu'on se comprend pas...
Je me demande si considerant :
y(0), y'(0) et lequation y''+ay'+by=c, où a, b, c sont des fonctions, il est toujours possible de trouver une solution unique ?
Par exemple ici pour l'équation t y'' - y' + (1-t)y = 0?
Par ailleurs, pourquoi donner une des deux solutions ? Et quelle va etre son rôle ? Est ce que cette solution permet de remplacer les deux conditions initiales ?
Voila =) merci
je ne saisi pas bien ce que tu veux dire ; mais c'est sans doute une formulation de ceci:
ce type d'équa diff a en général comme solution un espace vectoriel de dim 2 ( avec donc 2 fonctions non prop ):
un petit discours vaut mieux qu'une explication maladroite:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Équati..._non_constants
