Matrice diagonalisable et noyau trivial d'un endomorphisme

[Loosgin]

Bonjour à tous,

J'ai 2 question (dont la première est très simplette) :
- Pourquoi on écrit et non ?

- Si je comprends bien, dire que le noyau d'un endomorphisme f est non trivial revient à dire que la fonction est injectif et donc, non inversible (ce qui est bien pratique pour trouver les solutions (=valeurs propres de f)du polynôme caractéristique de f). Quel est le lien sémantique entre injectivité et inversibilité d'un noyau ?


Je vous remercie par avance pour toutes réponses
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[stefjm]

Pourquoi on écrit ?

Pas la peine de changer de base n fois dans un sens pour le faire n fois dans l'autre.

[albanxiii]

Bonjour,

- Pourquoi on écrit et non ?

Parce que la seconde expression n'est pas celle à laquelle vous pensez.

On écrit une puissance de la façon suivante : . Le produit matriciel étant associatif, vous pouvez écrire et simplifier l'expression comme l'a indiqué stefjm.

On parle d'inverse de matrice ou d'endomorphisme, pas de noyau. Ce que vous dites n'est vrai qu'en dimension finie, dans laquelle les trois affirmations sont équivalentes (montrez le, c'est un bon exercice) :
- l’endomorphisme f est injectif
- l’endomorphisme f est surjectif
- l’endomorphisme f est bijectif

Si le noyau d'un endomorphisme est réduit à { 0 }, alors il est injectif (trivial). La bijectivité en dimension finie s'en suit.

[Loosgin]

Je vous remercie pour votre réponse éclairante ! (maintenant que mon partiel est passé , je peux me concentrer sur des petits éléments qui m'empêchent toujours d'avoir une compréhension totale de cette matière).

Vous me dites que c'est 3 affirmations sont équivalentes ? Si j'ai bien compris, je dois montrer que :

l’endomorphisme f est injectif <=> l’endomorphisme f est surjectif <=> l’endomorphisme f est bijectif, c'est bien cela ?


D'autre part : alors il n'y pas de lien entre le noyau et le polynôme caractéristique d'un endomorphisme f ?

Soit f un endomorphisme dans E, E étant un Kespace Vectoriel et x un vecteur de E.
Soit , valeur propre de f <=>
<=>
<=>
<=> Au risque d'écrire des évidences mais le vecteur nul n'est pas un vecteur propre de f.
<=> Et c'est à cet instant que le lien est fait avec le polynôme caractéristique de f (là aussi, j'ai un peu de mal à comprendre ce lien). En effet, dire que le noyau n'est pas trivial revient à dire qu'il n'est pas inversible (= n'est pas injectif) d'où :
<=>

La phrase en gras traduit ce lien entre le noyau et le polynôme caractéristique de f et j'ai un peu du mal à le saisir totalement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il ne faut pas confondre le noyau de avec le noyau de . Relis ce que tu écrivais dans le premier message.

Il y a cependant un petit lien entre ker(f) et ses valeurs propres. 0 est valeur propre de f si et seulement si .

Cordialement.