Quelle généralisation du produit vectoriel en dimension n ?

[GrisBleu]

Bonjour

Je cherche à connaître quelle est la "bonne" généralisation du produit vectoriel en dimension n. J'en ai vu 2 qui ont leur avantages, amis je ne sais pas laquelle utiliser pour mon besoin "physique"
Soit un espace vectoriel, g une métrique et ,..., n-1 vecteurs
1/ Via le dual de Hodge
Le "produit vectoriel" des n-1 vecteurs est

2/ Via le déterminant
Le "produit vectoriel" des n-1 vecteurs est

Dans les 2 cas, . Dans le cas où g est l'identité, ces 2 définitions coïncident. Par contre, avec une métrique -+++ par exemple, les deux définitions sont de signes différents (sauf erreur de calcul de ma part)

Le produit vectoriel usuel en physique vient avec une orientation (la règle du tire bouchon) : a, b et a x b sont orientés directement. Dans mon cas (-+++) les 2 définitions me donnent 2 orientations différentes.

Auriez vous des éléments ?

Corsialement
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[mach3]

A vérifier, mais le epsilon (symbole ou tenseur de Levi-Civita, pas bien pigé...) est différent en -+++ il me semble. Il y a une page sur le epsilon dans le MTW, ce n'est pas la meilleure référence niveau maths mais ça peut donner des pistes.

m@ch3

[Amanuensis]

le epsilon (symbole ou tenseur de Levi-Civita, pas bien pigé...)

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_...index_notation

Peut-être bien un élément de réponse au message #1 ?

[stefjm]

Bonjour,
Le produit vectoriel n'est défini avec toutes ces propriétés que pour les dimensions 0, 1, 3 et 7.
Pour les autres dimensions, il faut spécifié la ou les propriétés que vous accepter de sacrifiez pour le coté math.
Pour le coté physique, il faudrait sans doute préciser le pour quoi faire.
Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

https://en.wikipedia.org/wiki/Hodge_...index_notation

Peut-être bien un élément de réponse au message #1 ?

Ha! Cool, c'est pas détaillé dans le MTW et les recherches que j'avais faites à l'époque ne m'avait pas mener à ça... Merci

m@ch3

[GrisBleu]

Bonjour

@stefjm : le but est d'identifier l'orientation positive d'une (hyper surface de dimension -1)

@all : je prends l'exemple de g=-++, |det(g)|=1, e1, e2 et e3 une base orthonormée
1/ La transformée de Hodge est définie par où (cf Wikipedia)
2/ Donc
d'où
Si par contre, je prend g=+++, |det(g)|=1, on retrouve bien d'où
3/ Par contre, si je prend comme définition du produit vectoriel (celle dans MTW), j'ai dans les 2 cas


J'ai peut être commis une erreur, mais comme les 2 définitions que j'ai trouvées sur le net / dans MTW diffèrent, je ne sais pas laquelle utilisée pour définir l'orientation ie comment savoir si mon volume3D en 4D est orienté positivement ou pas

@mach3: tu utilises la définition de MTW ?

Merci de votre aide