Espace vectoriel, application linéaire et Im(P)

[Perfectina]

Bonjour.

Si E est un espace vectoriel normé, P une application linéaire de E dans E.
Pourquoi si x appartient à Im(P), alors P(x)=x ? Je n'arrive vraiment pas à comprendre...
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[Tryss2]

Dit comme ça, c'est faux.

Quel est donc l'énoncé exact ET correct qui te pose problème?

[Perfectina]

Si H est un espace de Hilbert et P de H dans H une application linéaire, on veut montrer que P est la projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel fermé E (de H) si et seulement si P²=P et ||P(x)|| =< ||x|| pour tout x dans H.
Im(P) est un espace vectoriel fermé de H.

Et dans la correction, on commence par supposer les deux conditions vraies. Ils écrivent que si x est dans E, ou dans Im(P), alors P(x)=x... Ensuite ils enchaînent sur le reste, mais je ne comprends pas pourquoi on peut écrire P(x)=x.

[gg0]

Si x est dans Im(P), il s'écrit x=p(y). Donc p(x)= ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Perfectina]

p(x) = p²(y) = p(y) = x.
Merci !

[gg0]

C'est la définition classique des projections dans les espaces vectoriels : Un endomorphisme f de E est une projection signifie que fof=f. On en déduit que Im(f) est stable et que E est somme directe de ker(f) et Im(f). C'est un exercice classique de début.

Cordialement.