application linéaire, inclusion somme de sous espace vectoriel, f^-1

[sleinininono]

Bonsoir !

je fais un exercice de ce poly : http://mp.cpgedupuydelome.fr/pdf/App...C3%A9aires.pdf
le numéro 9.

On me demande dans la 3eme question de prouver que la somme des f^-1 de sous espaces vectoriels Fj est inclue dans f^-1 de la somme de ces sous espaces vectoriels Fj... ce que j'ai reussi à faire.

Puis on demande de montrer que l'inclusion peut être stricte.
Si j'ai bien compris il faut démontrer que parfois on a pas égalité c'est ça ?

par contre je n'arrive pas à trouver d'exemples et je ne comprends pas les solutions proposées... notamment ils proposent de prendre f une projection sur une droite D et F1 et F2 tq D inclue dans F1 + F2 mais alors je ne vois pas le sens de f^-1 (F1) puisque F1 n'est pas dans D...


si vous avez une clarification pour trouver cet exemple,

merci bonne soirée!
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[gg0]

Bonsoir.

"puisque F1 n'est pas dans D..." Tu oublies que l'on définit pour une application f :E-->F et une partie A de F, l'ensemble f^(-1)(A)={x de E/ f(x) est dans A} sans aucune condition sur A. On ne demande pas à A d'être une partie de f(E).
Ici, f^(-1)(F1}={x de E/ f(x) est dans F1}=E puisque F1 contient f(E).

Par contre, je ne vois pas comment l'inclusion serait stricte dans ce cas.

Cordialement.

[sleinininono]

merci pour votre réponse gg0.

mais alors ça donne quoi f^-1 d'un vecteur dont seulement une partie des composantes seraient dans dans l'ensemble de départ de f^-1?...

j'avoue que moi non plus comme je ne ocmprends pas encore très bien l'exemple... mais il est cité dans la correction

[gg0]

A priori, f n'est pas bijective. Donc " f^-1 d'un vecteur" n'a pas de sens. Et les éléments d'une droite vectorielle d'un R^n ont tous n composantes, puisque ce sont des éléments de R^n.
Peut-être revoir la notion de sous-espace vectoriel ? Et la définition d'une projection.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sleinininono]

mais donc... qu'est ce qui se passe dans cette exercice? enfin au final votre réponse ne m'apporte pas beaucoup de réponse...
si mes interrogations ne vous paraissent pas clair dites moi?

Il me semble que prendre la réciproque sur un intervalle où la fonction n'estr pas définie est une faute grave... j'aimerais comprendre pourquoi ici ils s'autorisent à le faire ?


et par ailleurs, je crois entendre dans vos propos que leur solution est totalement absurde, pourriez vous alors svp m'en proposer une autre? peut être cela me permettrait de comprendre?

merci

[gg0]

Vu ce que tu racontes, c'est à toi de revoir les notions de base pour comprendre les évidences que je rapporte. Ce n'est pas moi qui dis des phrases sans sens mathématique.

Manifestement, tu ne comprends pas la notion d'image réciproque et la notation f^(-1)(A) où A est une partie de l'ensemble d'arrivée : " prendre la réciproque sur un intervalle où la fonction n'est pas définie" ?? Quel intervalle, ici on a une application d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F, pas d'intervalle, pas de réciproque, à priori.

Je n'ai pas dit "que leur solution est totalement absurde", je m'interroge. Comme je n'avais pas leur solution, je ne pouvais pas la qualifier. je viens de la lire, ce n'est pas ce que tu dis, et ça demande de comprendre mieux la situation. En particulier ce que tu ne comprends pas sur f^(-1)(F1).

Quand tu auras appris la notion d'image réciproque, lis complétement leur explication (sans sauter de mot), puis cherche comment prendre F1, F2 et D pour arriver à ce qu'il faut. C'est important que ce soit toi qui apprennes, toi qui cherches, et toi qui trouves. Si tu as appris, cherché, complétement compris mes messages précédents et que tu ne trouves pas, reviens expliquer où tu en es, je te donnerai une nouvelle indication.

Cordialement.

[sleinininono]

j'entends gg0, je viens de revoir tout ça à l'instant.

Mais en dépit que je puisse à certains égard donner l'impression de ne pas chercher (alors que je fais entre 10 et 14h de maths par jour donc si je cherche quand même un peu), vous ne répondez pas à mes interrogations de base.

Je vous ai demandé dans mon premier message si j'ai bien compris la notion d'inclusion stricte ( ET oui, j'ai regardé sur de nombreux sites ce que cela signifie), de même pour l'aspect de réciproque d'une fonction. A la place je me prends des messages comme
"Quand tu auras appris la notion d'image réciproque, "
alors que la définition je la connais mais c'est la compréhension, l’interprétation qui peut me manquer.



Ceci dit donc après avoir de nouveau cherché à comprendre l'exercice, je me retrouve dans la situation suivante :

f va de l'espace de E dans F. Ici on prend f un projecteur donc f va de E sur D.
On prend ensuite f^-1 de deux espaces, des droites, différents de D. Mais si on prend f^-1 d'espaces distincts de D alors on obtient 0 non?



si je prenais un autre exemple pour comprendre cette notion de f^-1 ( qui vous semble évidente mais qui pour moi n'est pas acquise et c'est d'ailleurs pour cela que je fais cet exercice, c'est aussi pour comprendre la notion).
f serait une symétrie par exemple, avec comme axe de symétrie l'axe des abscisses. Est ce que f^-1 d'une droite D serait la droite D' avec un coefficient directeur opposé à celui de D?

est ce que f^-1 de la droite l'axe des ordonnées est elle même ?
est ce que f^-1 de l'axe des abscisses est aussi lui même?

Enfin, est ce que si je prends la symétrie avec pour ensemble de départ juste les couples (x,y) tous deux positifs, et qui envoie toujours sur les x positifs et les y négatifs, prendre f^-1 d'un y positif a du sens ?


j'attends vraiment vos réponses pour pouvoir continuer... sans lesquelles je resterai certainement encore bloqué un certain temps

[gg0]

"Je vous ai demandé dans mon premier message si j'ai bien compris la notion d'inclusion stricte" Comme tu avais compris et que c'est élémentaire, je n'y suis pas revenu. Suis-je tenu de répondre à toutes tes questions ? Une par une ?

"la définition je la connais mais c'est la compréhension, l’interprétation qui peut me manquer" ?? Si tu ne comprends pas, ça veut dire soit que tu ne connais pas (il te manque des mots pour redire la définition) soit que tu crois que comprendre (en maths), c'est autre chose que de savoir exactement ce que dit la définition. je t'avais écrit la définition de l'image réciproque, elle dit tout de ce qu'est une image réciproque. Mais jusqu'à présent, tu n'avais même pas vu que ce n'était pas la fonction réciproque qui est en cause (voir ta phrase sur le segment) mais une notion différente.

"f va de l'espace de E dans F. Ici on prend f un projecteur donc f va de E sur D." Non !! f va de E dans F. les images par f sont dans d, mais l'ensemble d'arrivée de f est F.

"Mais si on prend f^-1 d'espaces distincts de D alors on obtient 0 non?" pas exactement . Soit A une partie de F. Si A contient d, alors f^(-1)(A) = ?? Si A et d n'ont aucun point commun, alors f^(-1)(A) = ?? Si A est un sev de F qui ne contient pas d, quelle est l'intersection de A et d : ??? et f^(-1)(A)= { ???}.
A toutes ces questions tu peux répondre avec la définition de f^(-1)(A); et la réponse est toujours un sous-ensemble de E, donc pas 0. ta réponse était fausse par nature.

Pour la suite, tu prends une situation à la fois floue et compliquée "f serait une symétrie par exemple" ?? il y a des tas de "symétries", si on ne dit pas où on est, quelle est exactement l'application, on est dans le flou.

Prenons plus simple : Soit f : R --> R définie par f(x)=x²-1. Détermine f^(-1)(A) pour A=[0;1]; A=[-10 10[; A=]-oo,0], A=N (entiers naturels).

Et sache que tu ne pourras traiter tous les cas que tu rencontreras qu'en ayant en tête la définition, et en t'en servant.

Bon travail !

[Tryss2]

soit que tu crois que comprendre (en maths), c'est autre chose que de savoir exactement ce que dit la définition.

J'ai l'impression que c'est un problème fréquent ça d'ailleurs.

Il semblerai que pas mal de monde se mette dans la tête que comprendre un truc en maths, c'est en avoir construit une intuition, et que si je n'ai pas d'intuition de ce que je manipule, c'est qu'il y a un problème : sauf que ça n'est absolument pas nécessaire pour faire des maths, et qu'en général, l'intuition (si elle arrive), arrive bien après.

[sleinininono]

merci beaucoup, là je sens que je progresse

si D est inclue dans A, alors f^-1 de A serait f^-1 (D)? et donc alors si D est la droite sur laquelle on projette un ensemble, f^-1 (D) correspond à l'ensemble qui serait projeté sur la droite?

si par contre l'intersection est nul alors f^-1(A) est le singleton 0?


"Prenons plus simple : Soit f : R --> R définie par f(x)=x²-1. Détermine f^(-1)(A) pour A=[0;1]; A=[-10 10[; A=]-oo,0], A=N (entiers naturels)."

Alors ici :
f^-1 ( [0;1] ) est [1, sqrt 2]
f^-1 [-10 10[ est ] -11^1/2 , sqrt 11[
f^-1 ]-oo,0] est [-1 , 1 ]
f^-1 (N) est l'ensemble des racines des n+1 pour n appartenant à N.

est ce juste ?

[gg0]

"f^-1 (D) correspond à l'ensemble qui serait projeté sur la droite?" C'est à dire ?? Tu as une situation à traiter, va jusqu'au bout.

"si par contre l'intersection est nul alors f^-1(A) est le singleton 0?" ??? Je ne sait pas ce qu'est une intersection "nul", ni d'ailleurs nulle. Dans un espace vectoriel, nul veut dire égal à l'élément neutre de l'addition. Mais tu parles d'ensembles, ici. Sois précis !

"f^-1 ( [0;1] ) est [1, sqrt 2]" Non
La suite est juste.

Bon, tu peux faire ton exercice, maintenant.

[sleinininono]

oh je crois que je comprends...

donc si on prend F1 et F2 différents de D.

f^-1 ( F1 ) = {0}
f^-1 ( F2 ) = {0}

néanmoins f^-1 ( F1+F2 ) = D

donc ici on a bien {0} inclue dans D et c'est stricte parce que D est non nul. C'est bien ça?


par contre ensuite il propose de prendre f l'application nul ou l'identité. Ca fonctionne aussi? j'ai pas l'impression en regardant...

[gg0]

f^-1 ( F1 ) = {0}
f^-1 ( F2 ) = {0}
exact

néanmoins f^-1 ( F1+F2 ) = D faux !

Tu sembles confondre les antécédents et les images.
" "f^-1 (D) correspond à l'ensemble qui serait projeté sur la droite?" C'est à dire ?? Tu as une situation à traiter, va jusqu'au bout."