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différentiabilité d'une fonction en R²




  1. #1
    Momo54500

    différentiabilité d'une fonction en R²

    Bonjour,

    j'ai un exercice où je dois dire si la fonction :

    f(x,y) = (xy(x²-y))/(x²+y²)

    Cependant je ne sais pas par où commencer et le cours n'explique pas très bien .

    Si quelqu'un peut me donner quelques pistes pour arriver petit à petit au résultat attendu.

    Merci à vous.

    -----


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  3. #2
    JB2017

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Bonjour
    Si le cours n'explique pas très bien, de même tu ne poses pas très bien ta question.
    Peux-tu formuler exactement ta question?

  4. #3
    Momo54500

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Bonjour et merci pour votre réponse ,

    on a la fonction suivante :

    f(x,y) = (xy(x²-y²))/(x²+y²)

    et on souhaite savoir si cette fonction est différentiable ou non sur R²

    Merci à vous.

    Il me semble qu'il faut tout d'abord détermner si la fonction est continue sur R² et une fois qu'on a détermine si f(x,y) est continue ou non sur R² on fait quoi ensuite?

    Merci à vous.


  5. #4
    JB2017

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Bonjour
    Ailleurs qu'en (0,0) la fonction est évidemment différentiable (j'espère que tu sais pourquoi).
    Ce qu'il manque dans ton énoncé c'est la valeur de f en (0,0).
    Bien entendu cet exercice est classique et on pose pose f(0,0)=0.

    On commence avant tout par la continuité.

    Si on pose x=rcos(t), y=rsin(t).
    On a
    et
    D'où
    dc quand (x,y) tend vers (0,0) f(x,y) tens vers 0=f(0,0) f est continue en (0,0).


    Mieux f(x,y)= 0+ 0 x+ 0 y + o(r)

    (car r^2=o(r) )
    ce qui veut dire que f est différentiable en (0,0).

  6. #5
    Momo54500

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Bonjour et merci pour votre réponse

    Excusez moi pour la réponse tardive

    j'avais oublié de préciser que f(0,0)=0 excusez moi.

    "Ailleurs qu'en (0,0) la fonction est évidemment différentiable (j'espère que tu sais pourquoi)" cette fonction est continue sur R² sauf en (0,0) c'est pour ça non?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Non ! Continue ne prouve pas différentiable.
    Soit tu as un cours sur le sujet, que tu peux appliquer, et c'est quasi évident (voir les fonctions différentiables de base et les opérations sur les fonctions différentiables), soit on ne peut rien te justifier. Donc vois un cours de L1. Tu ne vas pas réinventer 3 siècles de mathématiques.

    Cordialement.

  9. #7
    Momo54500

    Re : différentiabilité d'une fonction en R²

    Je vais voir ça merci à vous.

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