Inversion de relation

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
Y a t-il une méthode pour obtenir la relation inverse du système suivant :



C'est à dire pour trouver les variables en fonction de . On reconnait assez facilement une conique (hyperbole) mais même en essayant de mettre les au carré et en faisant la somme et la différence il me reste du dans les relations...
Merci par avance du temps que vous m'accorderez
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop ce que les & viennent faire ici. S'ils ne servent à rien, tu peux éliminer les sin et cos en calculant x₁²+x₂².

Cordialement

[theophrastusbombastus]

Avant tout merci de votre réponse.
Pour les & j'ai un petit souci d'affichage latex donc je ne sais pas trop ce qui est écrit... Et pour le passage au carré la difficulté est le terme - dans devant qui change tout entre les deux expressions

[gg0]

Alors isole le sin et le cos.

NB : Les & sont dans ton texte de base. (lis-le avec "répondre avec citation").

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans le système à inverser :

qui est ?

Il suffit de remarquer que :



pour conclure que l'application n'est pas bijective, et qu'il est vain de vouloir l'inverser…

Si l'on veut éliminer entre et , il suffit d'écrire :



pour en déduire que satisfait la relation :



soit, tous calculs faits :



et il semble difficile de résoudre explicitement cette équation du quatrième degré en …

[theophrastusbombastus]

Un grand merci pour vos réponses et le temps que vous y avez consacré ! (Pour le moment je suis sur un téléphone mobile et l'affichage n'est pas mieux... Je vous prie de m'excuser pour le manque de clarté de mes précédents messages et pour ce u_3 qui ne sort de nul part)

Donc ce n'est pas inversible... En fait l'exercice de base consistait à trouver la base covariante associé aux courbes décrites par ces équations, et pour se faire une méthode et de considérer les gradients de u1 et u2 mais sans les expressions "explicite" je ne sais pas trop comment faire... Auriez vous une piste ?
Encore merci de votre aide

[invite57a1e779]

En fait l'exercice de base consistait à trouver la base covariante associé aux courbes décrites par ces équations, et pour se faire une méthode et de considérer les gradients de u1 et u2 mais sans les expressions "explicite" je ne sais pas trop comment faire... Auriez vous une piste ?

Il fallait dire tout de suite de quoi il retournait…

Les «courbes décrites par ces équations» sont des coniques homofocales orthogonales.

Si on fixe , la courbe paramétrée par est une ellipse d'équation: avec :



et la distance focale est donnée par :



donc les foyers communs à la famille d'ellipse sont les points de coordonnées : et .

Pour un point donné de coordonnées , on peut donc récupérer le paramètre de l'ellipse à laquelle il appartient par la relation : , puis on calcule à partir de la définition de .

On peut recommencer avec les courbes à fixé, qui sont des hyperboles avec les mêmes foyesr et .

Mais les calculs vont être sordides.

Il faut prendre en considération le fait que l'application est localement inversible (le problème est du même type que pour les coordonnées polaires où , et sont des coordonnées polaires différentes d'un même point…).

Le théorème d'inversion locale assure l'existence locale d'une réciproque qui est dérivable et on calcule les dérivées à partir des définitions de et .

Par exemple, en dérivant en :



et on résout le dernier système (bon courage…) pour avoir et . On recommence en dérivant par rapport à , pour obtenir les gradients.

[theophrastusbombastus]

Un immense merci pour toutes ces descriptions, je n'osais en demander tant !
Mais la description des coniques allant avec est assez élégance... je ne vous embête pas plus longtemps, encore merci de votre aide !