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Série des arctan(1/n²)




  1. #1
    jcomble

    Série des arctan(1/n²)

    Bonjour,
    J'essaie de déterminer la somme de la série:

    En montrant que:

    on en déduit que:

    et la convergence grâce à l'équivalence avec la série de Riemann.
    La somme reviendrait aussi à:

    Voici ce que j'ai tenté de faire:
    Téléscopie
    Il s'agit de déterminer une suite telle que
    Cela semble bien marcher pour
    ,mais pour ça n'est pas si facile (le changement de variable fait perdre la téléscopie).
    En utilisant des relations de trigonométries j'en suis arrivé à une relation de récurrence:

    (avec et pour avoir une bijection)
    en posant
    ,j'en arrive à la relation de récurrence:

    mais je n'arrive pas à conclure.
    Correspondance à une intégrale
    En partant de :

    Ainsi
    mais je n'arrive pas à déterminer une expression de la série à intégrer.
    Somme de séries
    Il s'agit de distinguer les cas des valeurs prises par n ([2k et 2k+1] ou[3k,3k+1 et 3k+2] ,etc...)
    Exemple:

    mais ça ne semble aller nulle part
    J'aimerais que vous m'aidiez à soit déterminer la somme soit prouver qu'elle est irrationnelle et inconnue
    (La somme semble tendre vers un nombre légèrement supérieur à -3 approximativement)
    Merci d'avance.
    ->jcomble

    -----


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  3. #2
    jacknicklaus

    Re : Série des arctan(1/n²)

    hello

    Cette page t'intéressera sans doute (2ème message) : http://www.les-mathematiques.net/pho...,254537,254775
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #3
    jcomble

    Re : Série des arctan(1/n²)

    merci à toi je vais vérifier si la valeur correspond et de quelle manière on l'obtient.


  5. #4
    pm42

    Re : Série des arctan(1/n²)

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Cette page t'intéressera sans doute (2ème message) : http://www.les-mathematiques.net/pho...,254537,254775
    Merci. C'est beau comme du Ramanujan.

  6. #5
    jcomble

    Re : Série des arctan(1/n²)

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    hello

    Cette page t'intéressera sans doute (2ème message) : http://www.les-mathematiques.net/pho...,254537,254775
    Il s'agit de la bonne solution mais il n'a pas expliqué comment on la détermine :/

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Série des arctan(1/n²)

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Merci. C'est beau comme du Ramanujan.
    exact, mais quand je lis qu'il est bien connu que : ......
    je me sens tout bête.

    c'est même de "notoriété publique" ! mazette
    Dernière modification par ansset ; 06/06/2018 à 13h36.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    jcomble

    Re : Série des arctan(1/n²)

    finalement j'ai trouvé la démarche pour trouver la solution je joins la solution pour les prochains qui se poseront peut-être la question.
    Somme.PNG
    faisant intervenir la tangente, les parties réelles et imaginaires, les différentes formes d'un nombre complexe, les produits de Wallis, le sinus d'un nombre complexe, l'arc-tangente et la tangente hyperbolique
    (rappel tan(arctan(x))=x mais arctan(tan(x)) pas toujours).

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