Série des arctan(1/n²)

[invite0b444b12]

Bonjour,
J'essaie de déterminer la somme de la série:

En montrant que:

on en déduit que:

et la convergence grâce à l'équivalence avec la série de Riemann.
La somme reviendrait aussi à:

Voici ce que j'ai tenté de faire:
Téléscopie
Il s'agit de déterminer une suite telle que
Cela semble bien marcher pour
,mais pour ça n'est pas si facile (le changement de variable fait perdre la téléscopie).
En utilisant des relations de trigonométries j'en suis arrivé à une relation de récurrence:

(avec et pour avoir une bijection)
en posant
,j'en arrive à la relation de récurrence:

mais je n'arrive pas à conclure.
Correspondance à une intégrale
En partant de :

Ainsi
mais je n'arrive pas à déterminer une expression de la série à intégrer.
Somme de séries
Il s'agit de distinguer les cas des valeurs prises par n ([2k et 2k+1] ou[3k,3k+1 et 3k+2] ,etc...)
Exemple:

mais ça ne semble aller nulle part
J'aimerais que vous m'aidiez à soit déterminer la somme soit prouver qu'elle est irrationnelle et inconnue
(La somme semble tendre vers un nombre légèrement supérieur à -3 approximativement)
Merci d'avance.
->jcomble
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[jacknicklaus]

hello

Cette page t'intéressera sans doute (2ème message) : http://www.les-mathematiques.net/pho...,254537,254775

[invite0b444b12]

merci à toi je vais vérifier si la valeur correspond et de quelle manière on l'obtient.

[pm42]

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Merci. C'est beau comme du Ramanujan.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0b444b12]

hello

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Il s'agit de la bonne solution mais il n'a pas expliqué comment on la détermine :/

[invite51d17075]

Merci. C'est beau comme du Ramanujan.

exact, mais quand je lis qu'il est bien connu que : ......
je me sens tout bête.

c'est même de "notoriété publique" ! mazette

[invite0b444b12]

finalement j'ai trouvé la démarche pour trouver la solution je joins la solution pour les prochains qui se poseront peut-être la question.

faisant intervenir la tangente, les parties réelles et imaginaires, les différentes formes d'un nombre complexe, les produits de Wallis, le sinus d'un nombre complexe, l'arc-tangente et la tangente hyperbolique
(rappel tan(arctan(x))=x mais arctan(tan(x)) pas toujours).