Loi de W=|X-Y| , X et Y des VA continues IID de loi exponentielle(1)

[invited25aca61]

Bonjour,

je sais que cette question est ultra classique et je me rappelle vaguement que sa solution peut se faire graphiquement, j'ai simplement oublié comment commencer. Je précise : j'ai déjà calculé la loi de X-Y j'ai obtenu 1/2*e^(-x) sur R+ et 1/2*e^(x) sur R-*
Des idées de résolution ?

Et plus généralement vu que je suis bloqué systématiquement quand j'ai une valeur absolue de loi à calculer, y a-t-il un début de méthode commune pour traiter ce genre de cas ?

Je vous remercie d'avance de vos éventuelles réponses
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[invited25aca61]

j'ai trouvé tout seul, c'est bon.

Pour ceux qui sont intéressés, posez la fonction de répartition de W, bidouillez là pour vous retrouver avec seulement du X-Y=Z, et à partir de là dérivez la différence de fonctions de répartition obtenue.
On trouve :
F(W)=1/2(e^(-x)-e^(x)) sur R+
donc f(W)=-1/2(e^(-x)+e^(x)) sur R+

[gg0]

Bizarre !!

Une densité de probabilité négative, c'est nouveau !

Je n'ai rien compris à ce que tu écris, mais si ça aboutit à ce que tu annonces (une fonction de répartition négative et décroissante), c'est faux !

[invited25aca61]

D'où le problème peut-il venir ? Ou bien c'est juste que j'ai recopié la mauvaise ligne de ma feuille et c'est en fait l'opposé qu'on obtient pour F(W) et donc 1/2(e^(-x)+e^(x)) pour f.
Ou bien le problème est plus en amont ,sur le calcul de f(Z)=f(X-Y) car je sais que je n'ai pas fait de faute sur le raisonnement de Z à W à part faute de recopiage sur le site.
Et je ne vois pas ce que tu ne comprends pas sur mon explication, c'est la méthode classique de détermination de la loi de X=f(Y) connaissant la loi de Y.
Dans le doute je l'écris :
P(W<=x)=P(-x<=Z<=x)=Fz(x)-Fz(-x)=Fw(x) et fw(x)=fz(x)+fz(-x), x>=0

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

fz(x)+fz(-x) est par nature positif, d'où vient que ce n'est pas le cas ici ?

A vue de nez, tu t'es trompé sur fz(-x).

[invite9dc7b526]

Sinon, tu peux écrire P(X-Y <= t) = int P(X <= t+s|Y=s)f(Y=s) ds = int P(X <= t+s) f(Y=s) ds (ça revient à faire un produit de convolution, ce qu'est la loi de X-Y)