Equations de pavages

[V13]

Bonjour !

En ce moment je cherchais une équation reliant en dimension deux, le nombre de sommets et le nombre d'arêtes d'un graphe représentant un pavage régulier carré du plan :



Sur cette image les couleurs n'ont aucune incidence et sont arbitraires.

Finalement j'ai trouvé l'équation :


J'ai essayé de faire de même avec un pavage de l'espace par des cubes réguliers (donc en dimension 3) et j'ai trouvé une formule du même genre :



Et finalement il semblerait qu'il y est une généralité et même si en dimension supérieure je ne pense pas que le concept de "graphe" soit encore valide, je me demandais si la formule suivante qui généraliserait les précédentes seraient valides pour certaines généralisations ou dans certains contextes :



où n serait la "dimension" dans lequel on effectue le pavage

Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre votre question :

En dimension 2, pour un carré de k points de côté, vous avez

en dimension 3 :

formules qui sont faciles à généraliser

[V13]

Les équations que vous avez écrites sont équivalentes aux miennes c'est juste que j'ai préféré les donner sous forme polynomiale plutôt que de laisser trainer des racines n-ième.

En revanche, ce que je demande c'est si il existe une théorie dans laquelle ces équations pour le degré > 3 ont un sens, ou si ce n'est qu'une généralisation formelle

[Médiat]

En revanche, ce que je demande c'est si il existe une théorie dans laquelle ces équations pour le degré > 3 ont un sens, ou si ce n'est qu'une généralisation formelle

J'avoue que je ne comprends pas la diiférence

[A voir en vidéo sur Futura]

[V13]

Si ces equations pour le degré >3 ont un sens '' géométrique dans des theories abordant les dimensions superieures ou si ce n'est que pure analogie formelle.

Si ces formules se généralisent naturellement de manière géométrique dans une autre théorie

[Merlin95]

Pour tenter de faire comprendre ce que dt V13, il me semble on pourrait par exemple se dire que pour donner du sens pour des dimensions > 3, par exemple en dimension 4, le problème revient au problème de dimension 3 en fixant la quatrième coordonnée, mais cela ne marche pas, le fait de rajouter une dimension créé des sommets supplémentaires. Mais pour autant une généralisation n'en est pas moins impossible je pense, elle consiste plus simplement à déterminer et compter de proches en proche les sommets qui sont à une unité d'un autre. Reste à trouver la méthodologie en question pour avoir le résultat en fonction du nombre de dimension (mais en théorie rien d'impossible je pense).

[Resartus]

Bonjour,
Notre cerveau a bien appris à "voir" en 3D à partir des images 2D fournies par nos yeux….

Sans forcément acquérir une vision, faire les bons raisonnements pour des espaces euclidiens de dimensions supérieures est tout à fait accessible, surtout dans les cas simples où les pavages se font selon les axes de l'espace.

Un exercice d'entrainement plus difficile : retrouver le développement de la "surface" 3D de l'hypercube 4D (forme popularisée par un tableau de dali)