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série-suite




  1. #1
    kizakoo

    série-suite

    Bonsoir, dans cet exo je bute beaucoup sur la dernière question :
    suite série.png
    Pour la question 2 j'ai essayé d'étudier la suite un et j'ai trouvé qu'elle décroit mais je ne sais pas comment montrer qu'elle converge ...
    Aidez-moi s'il vous plait !!

    -----

    Dernière modification par kizakoo ; 12/07/2018 à 22h36.

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  3. #2
    henryallen

    Re : série-suite

    Bonsoir

    La pièce jointe n’est pas encore validée, donc je ne peux pas la voir, mais n’est-il pas possible de montrer que la suite est minorée ? Dans ce cas-là, et puisqu’elle est (selon toi) décroissante, elle converge donc.

  4. #3
    henryallen

    Re : série-suite

    Je peux maintenant voir la pièce jointe, et je cède ma place à d’autres contributeurs éventuels puisque je ne connais pas vraiment les séries (je n’avais pas fait attention au titre et je pensais qu’on était dans la catégorie collège lycée )... Désolé et bonne soirée


  5. #4
    albanxiii

    Re : série-suite

    Bonjour,

    La question vous demande de déduire la convergence de à partir de celle de la série .
    Si vous arrivez à montrer que le terme général de cette série a un signe constant, vous avez tout de suite tout une batterie de théorèmes applicables. Il suffit alors de choisir le bon
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  6. #5
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    Plus précisément, pour étudier la convergence de la série de terme général u(n+1)-u(n) il faut chercher un équivalent du terme général u(n+1)-u(n).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : série-suite

    Le signe constant ne suffit pas pour assurer la convergence de la série.
    Il faut effectivement passer par un équivalent ( indice ; penser au DL en 0 de ln(1+x) à l'ordre 2 )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    jacknicklaus

    Re : série-suite

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    Le signe constant ne suffit pas pour assurer la convergence de la série.

    oui, mais croissante et bornée ...
    et ici, justement ...
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

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  11. #8
    ansset

    Re : série-suite

    tu la trouve facile à majorer ?
    un truc que je n'ai pas vu …..
    désolé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    ansset

    Re : série-suite

    correction, je suppose que tu utilises directement le O(1/n²) !
    encore faut il derrière utiliser un théorème ad hoc utilisant cette propriété.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    Il me semble que la première question justifie l'utilisation d'un équivalent pour traiter immédiatement la 2e, non ?

    Ceci dit, Kizakoo nous laisse bavarder et ne se manifeste plus. Mais reconnaissons que chercher ces exercices est une activité passionnante et saine pour l'esprit.
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 13/07/2018 à 17h31.

  14. #11
    ansset

    Re : série-suite

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    oui, mais croissante et bornée ...
    et ici, justement ...
    d'ailleurs la série est décroissante !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  15. #12
    albanxiii

    Re : série-suite

    La question 1 règle le problème de la convergence de la série de la question 2, non ?
    C'est pour cela que je n'en n'ai pas parlé.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  16. #13
    ansset

    Re : série-suite

    Oui, mais ne faut il pas dans ce cas invoquer un petit théorème ?
    à savoir que si f(n) est O(g(n)) ici g(n)=1/n², alors
    Il existe N et C tel que pour tout n>N |f(x)|<=Cg(x)

    question ouverte, ne sachant si cela peut être affirmer directement ( sans mentionner ceci )
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  17. #14
    ansset

    Re : série-suite

    d'autant que la question 2) est bien "montrer que…."
    et non pas "en déduire que…" comme si cela coulait de source, suite à la première question.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #15
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    @Anset, la notation de Landau grand O a un sens tenu pour évident dès qu'on l'utilise, elle sous entend justement ce que tu dis.

  19. #16
    ansset

    Re : série-suite

    alors, ça me va.
    mais je trouvais "élégant" de trouver facilement un équivalent .
    dommage le PP ne soit pas revenu car les questions suivantes sont assez intéressantes ….
    cordialement.
    Dernière modification par ansset ; 14/07/2018 à 00h37.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    ansset

    Re : série-suite

    Citation Envoyé par eudea-panjclinne Voir le message
    @Anset, la notation de Landau grand O a un sens tenu pour évident dès qu'on l'utilise, elle sous entend justement ce que tu dis.
    c'est aussi ce que je dis en citant la conclusion théorique dans le post#13.
    après, je ne sais ce que le prof attend comme justification ( ou pas ) et peut tout à fait accepter que c'est en soit une déduction de la réponse 1) sans plus d'explication.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    Merlin95

    Re : série-suite

    Il faut aussi préciser que converge.

  22. #19
    ansset

    Re : série-suite

    ça , on est sensé l'apprendre en première année de post-bac

    converge si et seulement si p>1
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  23. #20
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    En conclusion:
    D'après la question 1) u(n+1)-u(n)=O(1/n^2)
    Il existe N entier et C réel tels que, pour tout n>N, |u(n+1)-u(n)|<C/n^2
    La série de terme général |u(n+1)-u(n)| est majorée pour n>N par le terme général d'une série de Riemann convergente.
    Donc la série de terme général |u(n+1)-u(n)| est convergente.
    Donc la série de terme général u(n+1)-u(n) est convergente, et ainsi, la suite associée u(n) est convergente vers un réel noté Gamma.

  24. #21
    ansset

    Re : série-suite

    Il existe N entier et C réel tels que, pour tout n>N, |u(n+1)-u(n)|<C/n^2
    En fait tu répètes la justification additive que j'avais déjà formulée. ( post #13 )
    Et qu'il me semblait utile d'ajouter à la simple réponse 1)
    Dernière modification par ansset ; 14/07/2018 à 13h09.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  25. #22
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    @Anset, je fait dans le consensuel, de toute façon, il faut mieux en écrire de trop que pas assez, non ?
    Dernière modification par eudea-panjclinne ; 14/07/2018 à 20h12.

  26. #23
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    Pour 6) j'ai trouvé que la série de terme général (wn) converge pour alpha =-3. Qui dit mieux

  27. #24
    ansset

    Re : série-suite

    je dis "idem" sachant que je trouve que la série revient à
    2ln(2)+((3+a)/4)ln(n)
    donc il faut annuler le deuxième terme, soit a=-3
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #25
    ansset

    Re : série-suite

    Et de ton coté, comment es tu arrivé à ce résultat ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  29. #26
    ansset

    Re : série-suite

    ps : faute de frappe : lire h(n) et non ln(n) dans ma formulation
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #27
    eudea-panjclinne

    Re : série-suite

    On reconnait que

    On calcule
    avec et ce qui précède.
    On en déduit


    Sauf erreur

  31. #28
    Merlin95

    Re : série-suite

    Serait-il possible de détailler d'avantage ?

    Je comprends pas ce que vous voulez dire ici :
    avec et ce qui précède.
    Et comment vous arrivez ici ? :
    Dernière modification par Merlin95 ; 16/07/2018 à 00h51.

  32. #29
    ansset

    Re : série-suite

    je ne m'en sort pas avec le Latex,
    ma démarche est de partir de w_{4n}, en utilisant tous les résultats précédents.
    On obtient facilement

    en remplaçant en fct de

    de même

    les deux convergent vers ln(2)
    le reste revient à

    comme le est divergent , il faut donc

    reste à déduire que si les convergent vers une valeur ( ici 2ln(2) ) alors tous les intermédiaires convergent vers cette même valeur ( par encadrement par exemple )
    Dernière modification par ansset ; 16/07/2018 à 06h48.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  33. #30
    ansset

    Re : série-suite

    ps: je ne comprend pas trop le calcul de eudea mais j'arrive presque à la même valeur sauf que je n'ai qu'un ln(4) et pas un (1/4-a)ln(4),
    et je ne pense pas qu'on retombe sur nos pieds avec la valeur de gamma !
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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