série-suite

[kizakoo]

Bonsoir, dans cet exo je bute beaucoup sur la dernière question :

Pour la question 2 j'ai essayé d'étudier la suite un et j'ai trouvé qu'elle décroit mais je ne sais pas comment montrer qu'elle converge ...
Aidez-moi s'il vous plait !!
-----

[henryallen]

Bonsoir

La pièce jointe n’est pas encore validée, donc je ne peux pas la voir, mais n’est-il pas possible de montrer que la suite est minorée ? Dans ce cas-là, et puisqu’elle est (selon toi) décroissante, elle converge donc.

[henryallen]

Je peux maintenant voir la pièce jointe, et je cède ma place à d’autres contributeurs éventuels puisque je ne connais pas vraiment les séries (je n’avais pas fait attention au titre et je pensais qu’on était dans la catégorie collège lycée )... Désolé et bonne soirée

[albanxiii]

Bonjour,

La question vous demande de déduire la convergence de à partir de celle de la série .
Si vous arrivez à montrer que le terme général de cette série a un signe constant, vous avez tout de suite tout une batterie de théorèmes applicables. Il suffit alors de choisir le bon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Plus précisément, pour étudier la convergence de la série de terme général u(n+1)-u(n) il faut chercher un équivalent du terme général u(n+1)-u(n).

[invite51d17075]

Le signe constant ne suffit pas pour assurer la convergence de la série.
Il faut effectivement passer par un équivalent ( indice ; penser au DL en 0 de ln(1+x) à l'ordre 2 )

[jacknicklaus]

Le signe constant ne suffit pas pour assurer la convergence de la série.

oui, mais croissante et bornée ...
et ici, justement ...

[invite51d17075]

tu la trouve facile à majorer ?
un truc que je n'ai pas vu …..
désolé.

[invite51d17075]

correction, je suppose que tu utilises directement le O(1/n²) !
encore faut il derrière utiliser un théorème ad hoc utilisant cette propriété.

[invitedd63ac7a]

Il me semble que la première question justifie l'utilisation d'un équivalent pour traiter immédiatement la 2e, non ?

Ceci dit, Kizakoo nous laisse bavarder et ne se manifeste plus. Mais reconnaissons que chercher ces exercices est une activité passionnante et saine pour l'esprit.

[invite51d17075]

oui, mais croissante et bornée ...
et ici, justement ...

d'ailleurs la série est décroissante !

[albanxiii]

La question 1 règle le problème de la convergence de la série de la question 2, non ?
C'est pour cela que je n'en n'ai pas parlé.

[invite51d17075]

Oui, mais ne faut il pas dans ce cas invoquer un petit théorème ?
à savoir que si f(n) est O(g(n)) ici g(n)=1/n², alors
Il existe N et C tel que pour tout n>N |f(x)|<=Cg(x)

question ouverte, ne sachant si cela peut être affirmer directement ( sans mentionner ceci )

[invite51d17075]

d'autant que la question 2) est bien "montrer que…."
et non pas "en déduire que…" comme si cela coulait de source, suite à la première question.

[invitedd63ac7a]

@Anset, la notation de Landau grand O a un sens tenu pour évident dès qu'on l'utilise, elle sous entend justement ce que tu dis.

[invite51d17075]

alors, ça me va.
mais je trouvais "élégant" de trouver facilement un équivalent .
dommage le PP ne soit pas revenu car les questions suivantes sont assez intéressantes ….
cordialement.

[invite51d17075]

@Anset, la notation de Landau grand O a un sens tenu pour évident dès qu'on l'utilise, elle sous entend justement ce que tu dis.

c'est aussi ce que je dis en citant la conclusion théorique dans le post#13.
après, je ne sais ce que le prof attend comme justification ( ou pas ) et peut tout à fait accepter que c'est en soit une déduction de la réponse 1) sans plus d'explication.

[Merlin95]

Il faut aussi préciser que converge.

[invite51d17075]

ça , on est sensé l'apprendre en première année de post-bac

converge si et seulement si p>1

[invitedd63ac7a]

En conclusion:
D'après la question 1) u(n+1)-u(n)=O(1/n^2)
Il existe N entier et C réel tels que, pour tout n>N, |u(n+1)-u(n)|<C/n^2
La série de terme général |u(n+1)-u(n)| est majorée pour n>N par le terme général d'une série de Riemann convergente.
Donc la série de terme général |u(n+1)-u(n)| est convergente.
Donc la série de terme général u(n+1)-u(n) est convergente, et ainsi, la suite associée u(n) est convergente vers un réel noté Gamma.

[invite51d17075]

Il existe N entier et C réel tels que, pour tout n>N, |u(n+1)-u(n)|<C/n^2

En fait tu répètes la justification additive que j'avais déjà formulée. ( post #13 )
Et qu'il me semblait utile d'ajouter à la simple réponse 1)

[invitedd63ac7a]

@Anset, je fait dans le consensuel, de toute façon, il faut mieux en écrire de trop que pas assez, non ?

[invitedd63ac7a]

Pour 6) j'ai trouvé que la série de terme général (wn) converge pour alpha =-3. Qui dit mieux

[invite51d17075]

je dis "idem" sachant que je trouve que la série revient à
2ln(2)+((3+a)/4)ln(n)
donc il faut annuler le deuxième terme, soit a=-3

[invite51d17075]

Et de ton coté, comment es tu arrivé à ce résultat ?

[invite51d17075]

ps : faute de frappe : lire h(n) et non ln(n) dans ma formulation

[invitedd63ac7a]

On reconnait que

On calcule
avec et ce qui précède.
On en déduit


Sauf erreur

[Merlin95]

Serait-il possible de détailler d'avantage ?

Je comprends pas ce que vous voulez dire ici :

avec et ce qui précède.

Et comment vous arrivez ici ? :

[invite51d17075]

je ne m'en sort pas avec le Latex,
ma démarche est de partir de w_{4n}, en utilisant tous les résultats précédents.
On obtient facilement

en remplaçant en fct de

de même

les deux convergent vers ln(2)
le reste revient à

comme le est divergent , il faut donc

reste à déduire que si les convergent vers une valeur ( ici 2ln(2) ) alors tous les intermédiaires convergent vers cette même valeur ( par encadrement par exemple )

[invite51d17075]

ps: je ne comprend pas trop le calcul de eudea mais j'arrive presque à la même valeur sauf que je n'ai qu'un ln(4) et pas un (1/4-a)ln(4),
et je ne pense pas qu'on retombe sur nos pieds avec la valeur de gamma !