exo suite serie

[invitef085214d]

bonjour je bloque completement sur l exo suivant

soit n un entier naturel, on considere (Rn) la suite definie par Rn=1/racine p avec p variant de 1 à n

1) montrer que Rn > ou egal à racine n

2) a) monter par recurrence

Rn >2racine (n+1) - 2

b) montrer

1/(2racine(n) ) < racine (n)- racine(n-1)

on considere la suite Un = Rn -2racine n

montrer par recurrence que Un <0

Etudier la monotonie de U

deduire la convergence de U


3) Deduire que lim en plus infini Rn/(2racine (n)=1. merci beaucoup pour votre aide , je suis completement bloquee
-----

[inviteaf1870ed]

Ton message n'est pas compréhensible...

[invitef085214d]

Comment le rendre compréhensible ? Puis je envoyer le fichier en pdf? Merci beaucoup

[NicoEnac]

Bonjour,

on considere (Rn) la suite definie par Rn=1/racine p avec p variant de 1 à n

Je suppose que l'énoncé est :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

D'abord on ne comprend pas ce que vaut Rn. Je pense qu'il manque une somme quelque part, comme le suggère NicoEnac. Dans ce cas la question 1 est simple : chaque terme de ta somme peut être minoré (la fonction 1/racine est décroissante). Et tu trouveras ta réponse.

[invitef085214d]

en effet pardon il s'agit bien de la somme

je bloque sur la recurrence et je ne sais pas comment taper correctement un texte merci pour votre aide

[invitef085214d]

soit , on considere la suite Rn defini par Rn =\sum_{p=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{ p}}

montrer par recurrence que Rn >2\sqrt{n+1}-2
montrer que \frac{1}{2\sqrt{n}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}

je n'y arrive pas merci

[inviteaf1870ed]

Où bloques tu dans la récurrence ?

[invitef085214d]

je montre pour le premier terme mais je suis bloquée au rang n+1

merci bcp

[inviteaf1870ed]

Il faut que tu donnes certains détails de tes calculs, on ne va pas faire l'exo à ta place...

[invitef085214d]

je dois montrer que Rn+1>2racine(n+2)-2

j ecris Rn+1 = Rn +1/racine (n+1)

donc Rn+1 > 2 racine (n+1) -2 +1/racine (n+1)

et voilà si je reduis au meme denominateur je bloque et je n'ai pas d'autre idee, je cherche depuis un bon moment merci

[inviteaf1870ed]

J'ajoute que puisque tu postes dans la catégorie "Mathématiques du Supérieur", tu dois connaitre les intégrales : fais un dessin et tu verras que cette inégalité est triviale

[inviteaf1870ed]

je dois montrer que Rn+1>2racine(n+2)-2

j ecris Rn+1 = Rn +1/racine (n+1)

donc Rn+1 > 2 racine (n+1) -2 +1/racine (n+1)


et voilà si je reduis au meme denominateur je bloque et je n'ai pas d'autre idee, je cherche depuis un bon moment merci

C'est un bon début. Il te faut maintenant comparer l'expression à droite [2 racine (n+1) -2 +1/racine (n+1)] avec 2rac(n+2)-2. Une bonne méthode pour comparer deux grandeurs est de faire leur soustraction

[invitef085214d]

oui je comprends bien mais comment montrer que 2 (racine(n+1) - racine (n+2)) + 1/ racine (n+1) est positif car racine(n+1) - racine (n+2) est negatif, je craque un peu

[inviteaf1870ed]

En deux étapes : d'abord en calculant la quantité conjuguée de la différence des racines - un bon réflexe à avoir quand on est face à ce genre d'expression - puis en réduisant au même dénominateur

[invitef085214d]

j ai trouvé merci , je continue