L2-MATH Exo série

[invite4151b002]

Bonjour,

Je suis en L2 Math et j'ai raté mon épreuve d'analyse. Etant donné que je suis un peu perdu je viens chercher quelques indications ici .

2 exercices (sur 3 en tout ) me posent problème, voici le 1er:

Soit un réel différent de . Pour entier on considère:




1. Prouver que la série de terme général est divergente si .

2. On suppose . En admettant, ou en prouvant, qu'on peut écrire sous la forme:



où est une suite bornée, déterminer, selon la valeur de , la nature de la série de terme général . (En cas de convergence, on distinguera soigneusement la convergence absolue et la semi-convergence).

Pour la 1ère question, j'ai pensé à remplacer par une variable au carrée et chercher quelque chose du genre série de Riemann. Est-ce que l'idée est bonne? (Je retombe sur rien de bien convainquant avec cela, mais je ne suis pas très doué dans la transformation).

Pour la 2ème question j'ai d'abord cherché a transformer en partant de la 2ème expression... Je n'ai pas trouvé, pareil pour le reste de la question.

J'espère que vous pourrez m'éclairer. Merci à vous

PS: désolé si le langage LaTex est mal utilisé, c'est la 1ère fois que je fais cela.
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[invite8b04eba7]

Salut !

Pour la permière question, regarde l'équivalent de ton terme général.

Pour la seconde, tu peux faire un dévellopement limité : tu auras un bout qui converge grâce au TSA, un qui converge absolument, et qui diverge (ou pas) suivant les valeurs de alpha.

Bon courage !

[invite4151b002]

Bonjour Doudache et merci pour ces informations.

En effet pour la deuxième question je n'avais pas pensé à une série alternée pour le 1er bout (si c'est bien cela TSA ) Sinon, en feuilletant un bouquin de math je viens de trouver qu'une série dont le terme général serait ce 1er bout de alors la série est semi-convergente pour .

Par contre, quand tu parles de regarder l'équivalent du terme général, tu parles de la version dans la question 2?

Sinon je pensais à multiplier en haut et en bas par mais en regardant le résultat de ma transformation je ne suis pas sûr que cela apporte grand chose.

[invite8b04eba7]

garder l'équivalent du terme général, tu parles de la version dans la question 2?

Non, non, de la question 1 : tu peux trouver un équivalent simple (si a < 1/2, que peut tu dire de n^a par rapport à ?).

Pour la deuxième question, le premier terme est bien le terme général d'une série convergente d'après le th. des séries alternées, le troisième, tu peux le majorer par un terme général d'une série de Riemann convergente. Au final tu as SCV + ? + ACV, donc la nature de ta série est déterminée par la nature du second terme. La question est donc, dans quel cas la série de terme général

va converger ? Et si ça converge, comment ça converge ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4151b002]

Non, non, de la question 1 : tu peux trouver un équivalent simple (si a < 1/2, que peut tu dire de n^a par rapport à ?).

Je peux en dire que je pense.

Mais ce qui me dérange le plus ici c'est le

Parce que, pour moi, si c'est -1, alors la série est clairement divergente. Mais le cas du +1 me bloque un peu...

Pour la deuxième question, le premier terme est bien le terme général d'une série convergente d'après le th. des séries alternées, le troisième, tu peux le majorer par un terme général d'une série de Riemann convergente. Au final tu as SCV + ? + ACV, donc la nature de ta série est déterminée par la nature du second terme. La question est donc, dans quel cas la série de terme général

va converger ? Et si ça converge, comment ça converge ?

Je viens d'y penser le voyant: C'est une série de Riemann, elle est convergente si , donc si .

"Et si ça converge, comment ça converge ?"

Convergence absolue, semi-convergence, ce genre de chose?

Pour converge absolument je pense, non?(si c'est bien ça la question )

Quant au 3ème terme, si on a alors le dénominateur est de la forme avec .

Ensuite j'imagine qu'il faut utiliser le fait que soit borné?
Si elle est bornée, alors elle est majorée, donc convergente, non?

En tout cas, merci de me consacrer un peu de ton temps, je commence à y voir plus clair.

[invite8b04eba7]

Je peux en dire que je pense.

Mais ce qui me dérange le plus ici c'est le

Tu as même mieux que , l'un des termes est négligeable par rapport à l'autre, et du coup ton équivalent ne comporte plus de (-1)ⁿ.

Ensuite, pour la seconde question, c'est bien alpha > 3/4, et tu peux rajouter un si et seulement si pour la convergence.

Pour le troisième morceau, la converge est absolue si alpha > 1/2, mais ton argument n'est pas tout-à-fait correct. Essaie de le majorer par un terme général d'une série de Riemann.

Pour finir, c'est la convergence du tout que l'on te demande, donc il y a trois cas à distinguer :

- alpha > 3/4, tu as SCV + ACV +ACV donc le tout est semi-convergent
- alpha < 3/4 ...
- alpha = 3/4

Tu devrais pouvoir y arriver maintenant si tu as compris.

[invite4151b002]

Bonjour ,

En effet, ce n'était pas tout à fait mais .

Donc pour la 1ère question si je comprends bien, devient négligeable par rapport à . Et comme alors on a qui est une série de Riemann divergente.

Donc est divergente pour . (Correct?)

Pour le troisième morceau, la converge est absolue si alpha > 1/2, mais ton argument n'est pas tout-à-fait correct. Essaie de le majorer par un terme général d'une série de Riemann.

Pour 3ème terme on a: fois un série absolument convergente : pour

Je ne comprends pas comment une majoration avec un terme d'une série de Riemann pourrait m'aider, que faire du ?

Si mon argument: bornée => majorée => convergente est faux, cela vient du fait qu'on ne sait pas si les termes de cette série sont positifs?

Mais dans ce cas là, une comparaison avec une autre série (Riemann par exemple) marche t-elle quand même? (Je crois me souvenir que cela s'applique aux séries ayant un terme général positif).

Sinon, pour revenir au début de la question 2:

Pour la seconde, tu peux faire un dévellopement limité

Pour passer de la 1ère forme de à la 2ème il faut faire un développement limité (sur une série?)? Je ne me souviens pas avoir vu ça. (Ce qui explique peut-être pourquoi c'était des points bonus d'après le prof).

[matthias]

En effet, ce n'était pas tout à fait mais .

Donc pour la 1ère question si je comprends bien, devient négligeable par rapport à . Et comme alors on a qui est une série de Riemann divergente.

Donc est divergente pour . (Correct?)

Ce n'est pas qui te montre la négligeabilité. n < 2n mais n n'est pas négligeable devant 2n. Si tu mets le en facteur, tu y verras peut-être plus clair.
Et il faut préciser que l'équivalent est à termes positifs, sinon tu ne peux pas conclure.

Si mon argument: bornée => majorée => convergente est faux, cela vient du fait qu'on ne sait pas si les termes de cette série sont positifs?

C'est juste qu'une suite bornée n'est pas nécessairement convergente.

Mais dans ce cas là, une comparaison avec une autre série (Riemann par exemple) marche t-elle quand même? (Je crois me souvenir que cela s'applique aux séries ayant un terme général positif).

Une suite multipliée par une autre suite bornée, ça ressemble furieusement à la définition d'un O, non ? Et tu as donc ici un O d'une série à termes positifs convergente.
Si tu préfères faire ça autrement, prends la valeur absolue, et majores la valeur absolue de a_n.

Pour passer de la 1ère forme de à la 2ème il faut faire un développement limité (sur une série?)?

Etant donné que l'on te donne déjà la formule, tu peux reprendre l'expression donnée et calculer a_n en fonction de U_n si ça t'arranges.

- alpha > 3/4, tu as SCV + ACV +ACV donc le tout est semi-convergent

si alpha > 1, on aura ACV + ACV + ACV

[invite4151b002]

Bonjour Matthias, merci pour ces précisions .

Ce n'est pas qui te montre la négligeabilité. n < 2n mais n n'est pas négligeable devant 2n. Si tu mets le en facteur, tu y verras peut-être plus clair.

Je ne comprends pas pourquoi mettre en facteur change beaucoup ici.

Si je ne me trompe pas, on obtient:


Avec donc

A partir de là j'en conclue aussi que est équivalent à

Et donc diverge.

Et il faut préciser que l'équivalent est à termes positifs, sinon tu ne peux pas conclure.

Je note, merci .

C'est juste qu'une suite bornée n'est pas nécessairement convergente.

ok

Une suite multipliée par une autre suite bornée, ça ressemble furieusement à la définition d'un O, non ? Et tu as donc ici un O d'une série à termes positifs convergente.

Au risque de me rendre idiot qu'est ce que O?

Etant donné que l'on te donne déjà la formule, tu peux reprendre l'expression donnée et calculer a_n en fonction de U_n si ça t'arranges.

C'est long mais j'vais essayer.

[matthias]

Je ne comprends pas pourquoi mettre en facteur change beaucoup ici.

Tu n'est pas obligé de le mettre en facteur, mais tu dois quand-même démontrer la négligeabilité d'une façon ou d'une autre, ce que tu ne semblais pas avir fait.

Au risque de me rendre idiot qu'est ce que O?

Tu n'a pas vu les O et o ("grand O" et "petit o") ? C'est peut-être juste la manière dont je l'avais écrit qui n'était pas clair.

[invite4151b002]

Tu n'est pas obligé de le mettre en facteur, mais tu dois quand-même démontrer la négligeabilité d'une façon ou d'une autre, ce que tu ne semblais pas avir fait.

ok

Tu n'a pas vu les O et o ("grand O" et "petit o") ? C'est peut-être juste la manière dont je l'avais écrit qui n'était pas clair.

Non, cela ne me dit rien du tout ...

[matthias]

Ce sont pourtant des notations classiques :

U_n négligeable devant V_n:
avec

U_n dominée par V_n:
avec bornée

U_n équivalente à V_n:
avec

Dans le cas qui nous intéresse, Un = O(Vn) avec Vn positive et convergente => Un absolument convergente. Mais si tu ne connais pas, tu peux le redémontrer facilement.

[invite8b04eba7]

si alpha > 1, on aura ACV + ACV + ACV

Ah oui j'avais pas fait attention... heureusement que le groupe révisions nous surveille !

[invite4151b002]

Ce sont pourtant des notations classiques :

U_n négligeable devant V_n:
avec

U_n dominée par V_n:
avec bornée

U_n équivalente à V_n:
avec

Dans le cas qui nous intéresse, Un = O(Vn) avec Vn positive et convergente => Un absolument convergente. Mais si tu ne connais pas, tu peux le redémontrer facilement.

Merci je mets ça de coté, ça peut toujours servir.

[invite0f5c0a62]

J'ai l'impression que Un > 1/n pour alpha < 1/2.

pour le 2 je vois bien la convergence absolue mais pas la semi convergence (c'est quoi d'ailleurs ?)

[matthias]

J'ai l'impression que Un > 1/n pour alpha < 1/2.

A partir d'un certain rang, oui. En même temps c'est normal pour un équivalent de 1/sqrt(n).

pour le 2 je vois bien la convergence absolue mais pas la semi convergence (c'est quoi d'ailleurs ?)

Semi-convergence = convergence sans absolue convergence.
L'exemple le plus classique étant la série harmonique alternée.