Écart type ..?

[Shabtd]

Bonjour,

J’ai besoin d’un peu d’aide pour une notion toute bête mais je n’arrive pas à trouver la même résultat.

Comment trouver l’écart type de 167.2 cps ? J’ai joint une photo de la page.

Quelqu’un peut m’éclairer ?

Merci
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[XK150]

Bonsoir ,

http://www.modulad.fr/archives/numer...Grenier-37.pdf

[Shabtd]

J’ai essayé plusieurs fois avec la formule standard c’est à dire de faire la somme des différences entre chaque mesure et la moyenne, au carré puis divisé par le nombre de mesure et enfin la racine carré. Mais pourtant je n’arrive pas à 167.2 ! C’est un casse tête. Vous pourriez me donner le calcul détaillé si vous arrivez à trouver 167.2 ? Merci

[gg0]

Bonjour.

En fait, il ne s'agit pas de l'écart type des 10 mesures, mais de l'estimateur de l'écart type de la population à partir de l'échantillon (souvent noté s). D'où le n-1 de la formule, car pour le calculer on divise par n-1 au lieu de n.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Shabtd]

Merci beaucoup pour votre explication. J’ai enfin réussi à trouver le bon résultat.

Cordialement.

[Shabtd]

Dans un autre exercice, je retrouve quasiment le même problème... y a-t-il une erreur dans le corrigé ?

Voici l'énoncé:

On veut mesurer l'activité d'une source radioactive . Dix mesures consécutives faites sur une source ont donné (mesures en cps):
3875 ; 3949 ; 3621 ; 3817 ; 3790 ; 3902 ; 3851 ; 3798 ; 3833 ; 3864

Sachant que la source est isolée et qu'il n'y a pas de perturbations extérieures, Est-ce que l'instrument est fiable ?

Il s'agit apparemment de faire un test du khi 2... On cherche la moyenne qui est 3830 cps, jusque là tout va bien et de nouveau l'écart type sigma qui est donné dans le corrigé par: écart type = 187.4 alors que moi je trouve 87.84 ...

Quelle est mon erreur cette fois ? Sachant que j'ai divisé par n-1 comme dit précédemment.

[gg0]

Pas d'erreur de ta part, une erreur du corrigé ?

[jerrett]

Bonjour,
C'est un exercice très classique.

Malheureusement je ne peux pas lire l'énoncé,
J'ai lu le document donné par XK150, Je n'ai pas tellement aimé ce type de rédaction, ce n'est pas assez clair et précis.

La définition de l'écart type est simple et précise.
Dans le cas d'une mesure ou d'une observation répétée d'une même chose, on appelle écart-type la valeur de l'erreur moyenne quadratique des différentes mesures. Dans la formule, si la moyenne utilisée est la moyenne arithmétique des mesures, alors le dénominateur est (N-1), si au contraire la moyenne théorique est connue et utilisée, alors le dénominateur est N.
Il n'est question ni de biais, ni d'estimation, ni d'échantillon, mais tout simplement de mathématiques où ces termes n'ont pas vraiment de signification.
Gérard a donné le bon résultat, mais pas la bonne raison.
Voir aussi : http://www.dlzlogic.com/aides/Piege_variance.pdf
Bonne journée.

[leon1789]

Bonjour

Il n'est question ni de biais, ni d'estimation, ni d'échantillon, mais tout simplement de mathématiques où ces termes n'ont pas vraiment de signification.

justement si, il est question de cela ...

Dans le cas d'une mesure ou d'une observation répétée d'une même chose, on appelle écart-type la valeur de l'erreur moyenne quadratique des différentes mesures. Dans la formule, si la moyenne utilisée est la moyenne arithmétique des mesures, alors le dénominateur est (N-1), si au contraire la moyenne théorique est connue et utilisée, alors le dénominateur est N.

... car ces deux lignes ne sont pas la définition de l'écart-type d'une série statistique, mais les deux estimateurs classiques sans biais de l'écart-type de la loi de probabilité sous-jacente.

C'est la confusion classique dans les notions de base.

Gérard a donné le bon résultat, mais pas la bonne raison.

justement si...

Voir aussi : http://www.dlzlogic.com/aides/Piege_variance.pdf

c'est loin d'un texte mathématique, oulala, il suffit de lire les premières lignes !

[invite36041331]

Bonjour,

c'est loin d'un texte mathématique, oulala, il suffit de lire les premières lignes !

Il a au moins la vertu d'être didactique, en traitant de manière compréhensible un sujet pas aussi intuitif que cela.

Bonne journée.

[Verdurin]

Pour Schabdt.
Juste une mise en garde.

dzlogic s'est rendu célèbre sur de nombreux forums de math par son incompétence en probabilité et en statistique.
Et Dattier n'est vraisemblablement pas plus compétent.

Si tu veux apprendre quelque chose, évite le lien donné par jerrett, qui est sans doute un alias de dzlogic.

[invite36041331]

Et Dattier n'est vraisemblablement pas plus compétent.

C'est normal tu n'as pas trop l'habitude des résultats contre-intuitif, ton intuition te joue des tours, comme ici :
https://www.ilemaths.net/sujet-parti...tml#msg6534481

Ce qui fait que tu qualifies d'incorrect des résultats qui en fait ne le sont pas.

[leon1789]

Il a au moins la vertu d'être didactique, en traitant de manière compréhensible un sujet pas aussi intuitif que cela.

Tiens, on sort de sa tanière que l'on a soigneusement grillagée

Plus sérieusement : non, désolé, mais le texte de Dlzlogic n'est pas didactique car il met la charrue avant les boeufs. En plus, comme d'habitude, l'auteur parle d'un métier qu'il ne connait pas, à savoir l'enseignement des mathématiques, en particulier des proba-stats. Et comme dit (Verdurin par exemple), il ne maîtrise aucune des notions de base comme celles d'écart-type et d'estimateur. Je le cite :
<< les termes "biais" et cie n'ont aucune justification mathématique. En math, on n'estime pas, on calcule. >>
ce qui est risible.

[jerrett]

Bonjour,
Il est nécessaire de dire les choses.
En fait, c'est un très bon exemple de "recettes de cuisine" utilisée par les matheux. J'explique cela depuis des années, la raison est purement et simplement mathématique.

Si j'avais rédige l'exercice, j'aurais écrit un truc du genre :
"On dispose d'un appareil de mesure parfaitement précis. On effectue des mesures sur un objet donné et on en déduit une moyenne et un écart-type.
On achète un appareil de mesure meilleur marché et on refait l'expérience sur le même objet. En déduire, la moyenne, l'écart-type, la fiabilité etc.
Bien-sûr pour faire les calculs, il y aurait les résultats des mesures.
Corrigé : dans la première série de mesure, la moyenne vraie n'est pas connue, donc le diviseur est (N-1). Dans la seconde série de mesure, la moyenne est connue puisqu'on a utilisé un appareil très précis, donc le dénominateur est N. etc.
C'est à mon avis une très bonne méthode pour faire comprendre ce qui se passe. Et, là, c'est vraiment des mathématiques pures. Il n'y a aucune interprétation à faire.

[gg0]

Pourquoi vouloir faire des "mathématiques pures" (*) ? Il s'agit d'exercices de statistiques, qui sont des mathématiques appliquées. Et même en statistique, on utilise l'écart type de la population (celui où on utilise n, pas n-1), outil classique d'analyse de la dispersion.
En tout cas on est loin du questionnement initial de Shabtd.

Cordialement.

(*) Y aurait-il un présupposé d'existence de mathématiques impures, les maths appliquées par exemple ?

[ansset]

(*) Y aurait-il un présupposé d'existence de mathématiques impures, les maths appliquées par exemple ?

"shame on me", je suis un "pur exemple d'impureté" .

[ansset]

Corrigé : dans la première série de mesure, la moyenne vraie n'est pas connue, donc le diviseur est (N-1). Dans la seconde série de mesure, la moyenne est connue puisqu'on a utilisé un appareil très précis, donc le dénominateur est N. etc.

une explication ?
ce n'est pas parce qu'on a utilisé un appareil infaillible que la moyenne est sensée être connue sur la base d'un échantillon.

[leon1789]

En fait, c'est un très bon exemple de "recettes de cuisine" utilisée par les matheux. J'explique cela depuis des années, la raison est purement et simplement mathématique.

hummmm, voyons ce que cette raison pure, simple, mathématique, va raconter....

On dispose d'un appareil de mesure parfaitement précis. On effectue des mesures sur un objet donné et on en déduit une moyenne et un écart-type.

Déjà, cet énoncé commence mal c'est justement parce que les appareils de mesure ne sont pas parfaitement précis que l'on effectue plusieurs mesures. S'il était parfaitement précis, on n'aurait pas besoin de faire plusieurs mesures car la première serait parfaitement précise et les autres mesures donneraient parfaitement précisément la même valeur !

Corrigé : dans la première série de mesure, la moyenne vraie n'est pas connue, donc le diviseur est (N-1). Dans la seconde série de mesure, la moyenne est connue puisqu'on a utilisé un appareil très précis, donc le dénominateur est N. etc.
C'est à mon avis une très bonne méthode pour faire comprendre ce qui se passe. Et, là, c'est vraiment des mathématiques pures. Il n'y a aucune interprétation à faire.

...oui, voilà un très bon exemple où un non-matheux applique la "recettes de cuisine" qu'on lui a délivrée (pour reprendre le même niveau de vocabulaire). Il utilise une division par N-1, sans savoir pourquoi, et il ne comprend pas du tout les mathématiques qui sont derrière cela. Il récite sa leçon sur les formules d'écart-type (on divise par N ou pas N-1), en imaginant que c'est une définition mathématique (c'est comme ça, pas de question à se poser : c'est LA définition on vous dit, ne cherchez pas à comprendre !).


En réalité ce n'est pas du tout une définition : savoir s'il faut diviser par N ou N-1 est le résultat d'une étude de biais dans le cadre des estimateurs d'écart-type. Il suffit de se renseigner dans les ouvrages mathématiques...

[jerrett]

Je n'arrive pas à démontrer directement que lorsque la moyenne des observations est utilisée dans le calcul de l'écart-type au lieu de la valeur vraie de la moyenne, alors le dénominateur est (N-1) et non pas N.

[ansset]

c'est ce qu'on appelle la correction de Bessel ; afin de corriger un biais du au fait de ne pas connaitre la moyenne.
https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
( désolé, c'est en Anglais )

[leon1789]

Je n'arrive pas à démontrer directement que lorsque la moyenne des observations est utilisée dans le calcul de l'écart-type au lieu de la valeur vraie de la moyenne, alors le dénominateur est (N-1) et non pas N.

ceci s'explique par cela

Il n'est question ni de biais, ni d'estimation, ni d'échantillon, mais tout simplement de mathématiques où ces termes n'ont pas vraiment de signification.

Comme dit (ansset par exemple), pour faire la preuve, il faut connaitre les définitions d'écart-type de loi de probabilité (en particulier d'espérance), d'estimateur et de biais !
Contrairement à ce que disait Dattier, ce n'est pas si difficile que ça... il suffit de prendre un livre de math de lycée, ou même wikipedia !

[invite36041331]

Cela veut dire que l'on a une différence d'environs 1 % pour 10 tirages, or je ne pense pas qu'avec une dizaine de tirage on approxime mieux qu'à 10% ce que l'on cherche, donc en fait pour n>10, on a quasiment aucune différence (entre n et n-1)

Donc pour voir des différences il faut prendre n<10.

[invite36041331]

J'ai fait le test, voilà le code source, pour voir quelle est la meilleur approche diviser par n ou par n-1.


en Maple

N:=5; AA:=10000;
B:=0; Dl:=0;
for jjj from 1 to AA do A:=[seq(rand(1..N)(),i=0..N)]; M:=add(A[i],i=1..N)/N*1.; r:=0; v:=0;
for i from 1 to N do v:=v+(M-A[i])^2; r:=r+((N+1)/2-A[i])^2; od:
B:=B+abs(v/(N-1)*1.-r/N*1.); Dl:=Dl+abs(v/N*1.-r/N*1.); od:
B/AA; Dl/AA;

                             .4522400000


                             .4061040000

[jerrett]

Imaginons une série d'observations, dont on connait la moyenne vraie.
La définition de l'écart moyen quadratique que l'on appelle maintenant "écart-type" est parfaitement claire, et personne ne la remet en cause.
Mais, si la moyenne vraie n'est pas connue, l'écart-type ne peut pas être égal à celui calculé en connaissant la valeur vraie, il est forcément plus petit, ce qui n'est pas possible.
Donc, on "corrige" en divisant par (N-1) au lieu de N. On démontre cela, mais je ne sais pas le faire. Tout le monde admet et applique ce résultat, ce n'est pas une "recette de cuisine", c'est un résultat difficile à démontrer.

c'est pas moi qui ai inventé cela. C'est dans toutes les docs. Simplement, j'explique pourquoi et qu'il n'est pas question de "biais" ou d'estimation. Même si ça s'appelle "probabilité" tout ça est parfaitement mathématique et parfaitement rigoureux.

[leon1789]

Simplement, j'explique pourquoi et qu'il n'est pas question de "biais" ou d'estimation.

donc tu montres que tu n'as pas essayé de comprendre nos réponses... Comment appelle-t-on ce comportement ?

Imaginons une série d'observations, dont on connait la moyenne vraie.
La définition de l'écart moyen quadratique que l'on appelle maintenant "écart-type" est parfaitement claire, et personne ne la remet en cause.

ne pas confondre l'écart-type de la série statistique et l'écart-type d'une loi de probabilité.

Mais, si la moyenne vraie n'est pas connue, l'écart-type ne peut pas être égal à celui calculé en connaissant la valeur vraie, il est forcément plus petit, ce qui n'est pas possible.

c'est clair comme du jus de boudin... et Dattier parlait de didactique... MDR

Donc, on "corrige" en divisant par (N-1) au lieu de N.

ce "donc" n'a rien de mathématique...

On démontre cela, mais je ne sais pas le faire.

oui, c'est normal d'en être incapable, quand on refuse les notions de base en théorie des probabilités, tel le biais.

Tout le monde admet et applique ce résultat, ce n'est pas une "recette de cuisine", c'est un résultat difficile à démontrer.

non, ce n'est pas un résultat difficile à prouver ! Tu n'as visiblement même pas cherché à comprendre...
Lis et essaie de comprendre la "Proposition 1.12" de https://mistis.inrialpes.fr/software.../ep/node6.html
Il y a une preuve de quelques lignes ! Faut-il encore connaitre les définitions d'écart-type de loi de probabilité (en particulier d'espérance), d'estimateur et de biais ! C'est bien ce que je disais...

Dattier devrait prendre exemple sur la page que je viens de référencer au lieu de prêter un intérêt quelconque au texte de Dlzlogic.

[jerrett]

dans la vie réelle, il est assez rare de calculer un écart-type, à part des exercices, ça ne sert qu'à rédiger des docs d'appareils de mesure, ou à titre de comparaison ou de vérification de respect des tolérances imposées, mais comme de nombreux exercices y font référence, il me parait important de dire la vérité, plutôt que d'appliquer une recette qu'on a apprise.
La première fois que j'ai vu ce calcul sur les forums, j'ai demandé insidieusement d'où ça venait et oh surprise, j'ai eu comme réponse un article de Wikipédia. J'ai très vite compris le niveau de connaissance de ces matheux.
Plusieurs années après, c'est toujours le même cirque avec les mêmes intervenants, va comprendre !

[ansset]

qu'entends tu par "cirque".?
le lien que j'ai mis explique clairement et en détail le biais structurel ( avec une division par n ) dans l'estimation de la variance quand on ne connait pas la moyenne réelle.
et que l'on ne peut faire cette estimation qu'à partir de la moyenne calculée à partir de l'échantillon.

ps: on parle de stats ici ! et donc aussi d'estimation.

[leon1789]

qu'entends tu par "cirque".?

je crois que c'est assez clair, ansset :

Il n'est question ni de biais, ni d'estimation, ni d'échantillon, mais tout simplement de mathématiques où ces termes n'ont pas vraiment de signification.
(...)
Simplement, j'explique pourquoi et qu'il n'est pas question de "biais" ou d'estimation.
(...)
oh surprise, j'ai eu comme réponse un article de Wikipédia. J'ai très vite compris le niveau de connaissance de ces matheux.
Plusieurs années après, c'est toujours le même cirque avec les mêmes intervenants, va comprendre !

On lui fait toujours les mêmes réponses sur les forums, des réponses qui ne lui conviennent pas. Il ne lit pas non plus les références qu'on lui donne (la tienne en particulier) sinon il comprendrait de quoi il en retourne et ne s'enfermerait pas dans tes petites idées.

Bref, apparemment ce Monsieur ne connait rien en théorie des probas-stats et se croit plus fort dans en mathématique que les matheux : il veut leur "expliquer pourquoi et qu'il n'est pas question de biais ou d'estimation" car "ces termes n'ont pas vraiment de signification."

[leon1789]

J'ai fait le test, voilà le code source, pour voir quelle est la meilleur approche diviser par n ou par n-1.

il fait quoi ton code ? quelle est ta conclusion ?

Cela veut dire que l'on a une différence d'environs 1 % pour 10 tirages, or je ne pense pas qu'avec une dizaine de tirage on approxime mieux qu'à 10% ce que l'on cherche, donc en fait pour n>10, on a quasiment aucune différence (entre n et n-1)

Donc pour voir des différences il faut prendre n<10.

Dattier,
quand on calcule des pourcentages, c'est le ratio qu'il faut utiliser (et le comparer à 1), pas la différence (comparée à 0) !
C'est quand même la base ...

Ici, le ratio est (n-1)/n = 1-1/n (on pourrait aussi prendre le ratio inverse, mais cela ne changerait pas grand chose)
Pour n=10 , il y a une différence de 10% (le 1/n).
Pour avoir une différence de 1%, il faut prendre n=100 .

PS. ce ratio (n-1)/n concerne les estimateurs de variance. C'est eux qui sont éventuellement sans biais.

[gg0]

Pour Jerret :

Les notions d'estimateur, d'estimateur non biaisé, d'estimateur convergent, sont à la portée d'un élève de fin de lycée ayant un peu de formation mathématique. La preuve que l'estimateur
( est la moyenne arithmétique des x_i)
est un estimateur sans biais et convergent de la variance de la population à partir d'un échantillon de taille n pris au hasard dans la population, est de niveau licence scientifique. On s'en sert pour avoir un estimateur de l'écart type, , qui malheureusement n'est pas sans biais. Mais assez simple pour être utilisé (il existe des estimateurs sans biais, mais bien plus compliqués à calculer, pour un bénéfice négligeable).
Dire que ça ne sert qu'en exercice est assez surprenant, car cette formule est à la base de nombreux tests industriels ou statistiques, de validations de mesures industrielles ou scientifiques, et même de normes internationales !

Cordialement.

NB : Ne pas confondre "je n'ai pas appris les mathématiques" avec "c'est du cirque"
NBB : Ne pas confondre "je ne m'en sers pas " avec "ça ne sert à rien"