Cohomologie

invite5357f325 · 28/07/2018, 17h34

?

Tu as fait un dessin ?

**Anonyme007** · 28/07/2018, 17h47

Oui, mais je ne peux pas faire le dessin ici sur le forum. Mais j'ai fait le dessin sur un papier.

invite5357f325 · 28/07/2018, 18h53

Et comment tu décris avec des mots $\text{[math]}$ ?

**Anonyme007** · 28/07/2018, 22h09

$\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ privé des deux droites parallèles : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sauf $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ appartenant respectivement à ces deux droites.

invite5357f325 · 29/07/2018, 02h55

J'ai encore fait une typo, il fallait aussi enlever 1 et 2 sinon U^+ et U^- n'étaient pas ouvert.

Donc maintenant que tu as les bons ouverts tu peux écrire le complexe de Cech

Une fois que tu auras fait n = 2 tu verras comment généraliser.

**Anonyme007** · 29/07/2018, 05h39

Tu voudrais dire qu'il faut prendre : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
au lieu de : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
?
J'ai modifié $\text{[math]}$ en la rendant sous forme $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .

**Anonyme007** · 29/07/2018, 06h05

Dans ce cas là, $\text{[math]}$ n'est pas connexe, avec : $\text{[math]}$
( $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ ).
mais je ne sais pas calculer : $\text{[math]}$ . Peux tu m'aider la dessus stp ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 29/07/2018, 12h07

Evidemment sinon c'est un recouvrement de C et pas de C moins 1,2. Donc tu as calculé la cohomologie de C au message 28.

Bon maintenant à quoi ressemble l'intersection (avec des mots) ? Quel est la définition de Z(U) ?

**Anonyme007** · 29/07/2018, 13h41

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ l'ensemble des composantes connexes de $\text{[math]}$ qui sont les ouverts : $\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$
Non ?

invite5357f325 · 29/07/2018, 13h50

Oui :

Maintenant il faut écrire $\text{[math]}$ et calculer son kernel et son cokernel.

**Anonyme007** · 29/07/2018, 14h27

Si $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ , non ?

**Anonyme007** · 29/07/2018, 14h46

Si c'est correct, alors :
$\text{[math]}$
et : $\text{[math]}$ .
Non ?

invite5357f325 · 29/07/2018, 19h27

C'est tout bon.

**Anonyme007** · 29/07/2018, 19h56

Merci beaucoup petrifie.

**Anonyme007** · 30/07/2018, 21h37

@petrifie :
et si on veut maintenant calculer la cohomologie de Derham du cercle, du ruban de Möbius et de $\text{[math]}$ , comment on fait ?
Merci d'avance.

invite5357f325 · 31/07/2018, 10h30

La cohomologie de De Rham est isomorphe à la cohomologie de faisceau à coefficient réels. Regarde Bott and Tu pour la preuve. Sinon tu peux aussi utiliser Mayer-Vietoris qui marche très bien !

**Anonyme007** · 31/07/2018, 15h28

D'accord, merci.

**Anonyme007** · 07/08/2018, 01h54

Bonjour @petrifie :

Svp, quelle est la méthode naturelle qu'on utilisait pour calculer la cohomologie de DeRham de certains objets comme le cercle, le ruban de Möbius, et la surface $\text{[math]}$ avant de découvrir que : La cohomologie de De Rham est isomorphe à la cohomologie de faisceau à coefficient réels par les mathématiciens ?

Merci d’avance.

invite5357f325 · 07/08/2018, 18h32

La cohomologie de De Rham a été inventé par De Rham, qui a découvert qu'elle coïncidait avec la cohomologie singulière. C'est ce qu'on appelle le théorème de De Rham.

**Anonyme007** · 25/08/2018, 16h49

Bonjour à tous,
Bonjour petrifie :
Comment montre-t-on, s'il vous plaît que :
- L'homologie cellulaire ( i.e : Homologie des CW-complexes ou CW-homologie ) et l'homologie singulière s'identifient ?
- La cohomologie cellulaire ( i.e : Cohomologie des CW-complexes ou CW-cohomologie ) et la cohomologie singulière s'identifient ?
Merci infiniment.

invite5357f325 · 29/08/2018, 21h47

C'est fait dans n'importe quel livre de topologie algébrique, par exemple Hatcher ou Davis-Kirk. Il suffit juste de vérifier ça pour l'homologie et ensuite tu peux utiliser les coefficients universels pour la cohomologie.

**Anonyme007** · 11/09/2018, 22h50

Bonsoir,

Je souhaiterais calculer l'algèbre de Cohomologie : $\text{[math]}$ à l'aide de :
- La suite de Mayer-Vietoris.
- La cohomologie cellulaire.
Mais, je ne sais pas le faire.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
Je cherche une réponse détaillée et claire à ce sujet. ( De A à Z pour que je puisse la retenir pour toujours )

Merci d'avance pour votre aide.

**Anonyme007** · 12/09/2018, 19h03

Rebonjour,

Pour le cas de la suite de Mayer Vietoris, je connais un peu l'astuce :

Il faut pouvoir écrire : $\text{[math]}$ sous la forme : $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ deux ouverts contractiles de $\text{[math]}$ , et que : $\text{[math]}$ . Or, je ne sais trouver quels sont ces deux ouverts $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 12/09/2018, 21h40

Je pense pas que ça existe. Si U, V sont simplement connexes et U \cap V est connexe alors U \cup V est simplement connexe. Ce n'est pas le cas ici.

**Anonyme007** · 12/09/2018, 21h53

Salut :

Oui, c'est vrai. Merci.

Alors, d'après les consignes d'un autre forum ( anglophone ), voici où j'en suis :
Pour : $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ se met sous la forme de $\text{[math]}$ , avec :
- $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$
On a :
- $\text{[math]}$ a le meme type d'homotopie que un point.
- $\text{[math]}$ a le meme type d'homotopie que l'espace projectif $\text{[math]}$ .
- $\text{[math]}$ a le meme type d'homotopie que la sphère $\text{[math]}$ .
Ensuite, on passe au remplissage de la suite exacte de Mayer Vietoris :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Mais, je ne sais pas le faire. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 12/09/2018, 22h26

Tu sais prouver tes affirmations sur U,V, U \cap V ?

Ensuite c'est quand même pas si dur, la sphère S^k a sa cohomologie nulle partout sauf en degré 0 et k. Par récurrence ça t'indique facilement le résultat tout en se souvenant que RP^1 = S^1.

Si tu ne vois toujours pas écris explicitement n=2 et n=3.

**Anonyme007** · 12/09/2018, 22h59

Envoyé par petrifie

Tu sais prouver tes affirmations sur U,V, U \cap V ?

Oui. Voir ici : https://math.stackexchange.com/quest...pe-of-a-sphere

Envoyé par petrifie

Ensuite c'est quand même pas si dur, la sphère S^k a sa cohomologie nulle partout sauf en degré 0 et k. Par récurrence ça t'indique facilement le résultat tout en se souvenant que RP^1 = S^1.

Oui, alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

implique :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

C’est à dire :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Or, d'après la proposition : $\text{[math]}$ page : $\text{[math]}$ , du cours : géométrie différentielle de Monsieur Frederic Paulin, disponible librement sur le net, on a :

$\text{[math]}$

est une suite exacte courtes de complexes de chaînes.

Par conséquent :

$\text{[math]}$

est une suite exacte, et donc, d'après la suite de Mayer Vietoris plus haut, on déduit que :

$\text{[math]}$ .

On déduit également d'après la suite de Mayer Vietoris, çi dessus que, pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

puisqu'on est en présence de morceaux : $\text{[math]}$ dans cette suite.

Il reste à calculer : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , mais je ne sais pas les calculer. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

invite5357f325 · 12/09/2018, 23h33

Je comprends pas pourquoi tu as pris la peine de tout écrire tes trucs en Latex mais que tu n'as pas réfléchi une seconde au calcul de H^0 (par exemple) qui est évident.

**Anonyme007** · 12/09/2018, 23h41

Pardon, je corrige quelques erreurs :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

implique :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

C’est à dire :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
...
$\text{[math]}$
...

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Or, d'après la proposition : $\text{[math]}$ page : $\text{[math]}$ , du cours : géométrie différentielle de Monsieur Frederic Paulin, disponible librement sur le net, on a :

$\text{[math]}$

est une suite exacte courtes de complexes de chaînes.

Par conséquent :

$\text{[math]}$

est une suite exacte, et donc, d'après la suite de Mayer Vietoris plus haut, on déduit que :

$\text{[math]}$ .

On déduit également d'après la suite de Mayer Vietoris, çi dessus que, pour $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

puisqu'on est en présence de morceaux : $\text{[math]}$ dans cette suite.
D'où, par récurrence :
$\text{[math]}$ , non ?

Il reste donc, à calculer : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , mais je ne sais pas les calculer. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

**Anonyme007** · 12/09/2018, 23h48

Envoyé par petrifie

Je comprends pas pourquoi tu as pris la peine de tout écrire tes trucs en Latex mais que tu n'as pas réfléchi une seconde au calcul de H^0 (par exemple) qui est évident.

$\text{[math]}$
Je ne sais pas terminer.
On doit avoir :
$\text{[math]}$ .
Mais, je ne sais pas le justifier.
Pourquoi une fonction réelle continue sur $\text{[math]}$ est constante ?
Je connais la version de ce théorème en analyse complexe, mais pas en analyse réelle.
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.

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