Cohomologie

[azizovsky]

Pourquoi une fonction réelle continue sur est constante ?
.

Salut, les formes de degré 0 sont les fonctions scalaires f(x) sur la variété.
si une forme de degré 0 est fermé , on'a df(x)=0, cela signifie que la fonction f(x) est localement constante, càd constante sur chaque morceau connexe de la variété.
les formes fermés de degré 0 ne sont que les collections de q constantes où q est le nombre de morceaux , le groupe H^(0) est un e.v de dim=q.
ps: quelle est l'utilité mathématique de l'homologie ou son duel la cohomologie?
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[invite90034748]

C'est évidemment faux il suffit de prendre une fonction delta et de l'approximer par une fonction lisse.

[azizovsky]

C'est évidemment faux il suffit de prendre une fonction delta et de l'approximer par une fonction lisse.

qu'est ce qui est faux? ( ce n'est pas mon domaine) et quelle est l'utilité mathématique de l'homologie ou son duel la cohomologie?

[azizovsky]

proposition (3,3) et démonstration (page 20):
Démonstration. Commençons par le premier point. Soit f une 0-forme, c-à-d une
fonction. Elle est fermée si et seulement si sa différentielle est nulle, c-à-d si et
seulement si elle est localement constante et donc constante sur chaque composante
connexe. Réciproquement, toutes ces fonctions localement constantes sont fermées
et seule 0 est exacte, donc H0
pM, Rq a pour dimension le nombre de composantes
connexes de M .
https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01331009/document

[azizovsky]

j'ai vérifié...., première page du cours de géométrie contemporaine III (méthodes de la théorie de l'homologie ) B.Doubrovine, S.Novikov, A.Fomenko et aussi chez G.Chilov, analyse mathématique ( fonctions de plusieurs variables page 523 où il suffit d'annuler l'intégrale (forme fermé).....
possible, il y'a une généralisation de tous ça en géométrie algébrique (moi encore en géométrie analytique...)

[Anonyme007]

C'est évidemment faux il suffit de prendre une fonction delta et de l'approximer par une fonction lisse.

Je n'ai pas compris petrifie. Tu t'adresses à moi ou bien à azizovsky, petrifie. Je suis perdu. Je n'ai pas saisi ce que tu voulais dire dans ta dernière phrase.

[Anonyme007]

D'après azizovsky :

. ( Evident )
Soit : .
Alors, .
Par conséquent : est localement constante.
C'est à dire est constante sur chaque composante connexe de .
Puisque est connexe, alors, est constante sur , et donc : . D'où : .
Par conséquent : .
Est ce que c'est correct ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

S'il vous plaît, est ce que le raisonnement ( d'hier. Voir plus haut ) suivant vous semble correcte, qui permet de calculer : ?

...

Or, d'après la proposition : page : , du cours : géométrie différentielle de Monsieur Frederic Paulin, disponible librement sur le net, on a :



est une suite exacte courtes de complexes de chaînes.

Par conséquent :



est une suite exacte, et donc, d'après la suite de Mayer Vietoris plus haut, on déduit que :

.

...

Merci d'avance.

[invite90034748]

Je m'adressais à toi. Il est faux que toute fonction continue de l'espace projectif vers R est constante. Je t'expliquais comment construire un contre-exemple. Pense tu vraiment que toute fonction continue du cercle vers R est constante ?

[Anonyme007]

Pense tu vraiment que toute fonction continue du cercle vers R est constante ?

Je ne sais pas. Par exemple, une section locale du revêtement : défini par : est continue mais pas constante, non ? Mais, n'est pas un revêtement globalement trivialisable afin de pouvoir parler de sections globales continues et voir si elles sont constantes ou non, non ?

[Anonyme007]

Par exemple, ici : http://analysis-situs.math.cnrs.fr/C...siens-217.html , le théorème de classification des revêtements connexes, du cercle affirme que, à isomorphisme près, il n'y'a que deux revêtements connexes possibles sur le cercle : défini par : , et défini par : . Alors, ici ce qui nous intéresse est le revêtement : défini par : . Ce n'est pas un revêtement globalement trivialisable, donc, on ne peut pas parler de fonctions continues puisqu'il n'existe pas de sections continues globales du revêtement : défini par : , non ?

[invite90034748]

Bon désolé j'abandonne. Je laisse quelqu'un d'autre t'expliquer si oui ou non il existe des fonctions continues du cercle vers R.

[Anonyme007]

Ai je dis quelques choses de mal ?

[invite90034748]

qu'est ce qui est faux? ( ce n'est pas mon domaine) et quelle est l'utilité mathématique de l'homologie ou son duel la cohomologie?

Désolé je n'avais pas vu ton message. Je m'adressais à Anonyme007. Ce que tu as écris est bien sûr juste. Pour l'utilité de l'homologie, je dirais qu'à la base ça serait à calculer des intégrales (il me semble que c'était la motivation de Poincaré) et quand les mathématiciens se sont intéressés à la classification des variétés ils ont vu que l'homologie, la forme d'intersection, la signature etc... étaient des invariants puissants de variétés.

[Anonyme007]

Pour être franc avec toi, je n'ai jamais eu de l’intérêt pour les fonctions définies sur un cercle.

Les seules fonctions que je manipulais et qui sont de cette nature sont les fonctions développables en séries de Fourier, mais ces fonctions là sont simplement continues par morceaux, donc, pas continues sur ou sur . Alors, ... c'est ce qui me pousse à dire qu'il n'existe pas de fonctions continues définies sur .

[invite90034748]

D'abord les revêtements et maintenant Fourier, peut-être qu'avec la cohomologie galoisienne on connaîtera le fin mot de l'histoire ?

[Anonyme007]

D'accord, ce n'est pas intéressant, on poursuit la discussion loin des fonctions définies sur .
Tu as affirmé tout à l'heure que la réponse de @azizovsky est juste. On passe alors aux autres groupes de cohomologie.

Est ce que le raisonnement ( d'hier. Voir plus haut ) suivant vous semble correcte, qui permet de calculer : ?

...

Or, d'après la proposition : page : , du cours : géométrie différentielle de Monsieur Frederic Paulin, disponible librement sur le net, on a :



est une suite exacte courtes de complexes de chaînes.

Par conséquent :



est une suite exacte, et donc, d'après la suite de Mayer Vietoris plus haut, on déduit que :

.
...

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Voici pour le calcul de :
On a : par l'isomorphisme défini par : avec : .

Pour le calcul de : , pour : :
D'après la suite exacte de Mayer Vietoris plus haut, on a trouvé que :


est une suite exacte pour : .

Par conséquent : .

Alors, je ne sais pas calculer : .

Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Pense tu vraiment que toute fonction continue du cercle vers R est constante ?

Si on prend par exemple : définie par : , elle se factorise par : avec : ( i.e : ) qui est donc une fonction réelle continue sur , puisque : est continue, mais pas constante, non ?.