Cohomologie

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Vous ne pouvez imaginer combien je suis nul en théorie des cohomologies, et je suis triste pour ça, malgré plusieurs années d’apprentissage. Je ne saisis pas bien cette théorie parce que la plupart des cours que j'ai appris sont très théorique et ne nous offrent pas l'occasion de s'entrainer sur des cas concrets, et puis aussi parce que il y'a plusieurs types de cohomologies qui entrent en jeu : cohomologie singulière, de De rham, de Dolbeault, des faisceaux. ... etc. Je n'arrive pas à saisir la différence sur des cas concrets. Je me tourne vers vous maintenant. Comment faire pour une remise à niveau en théorie des cohomologies ?. aidez moi s'il vous plaît, et merci infiniment. Ne me dites pas : Va lire Hatcher, car ce livre est très costaud et ennuyeux, je ne l'ai pas aimé du tout. Y'a t-il une autre piste à suivre ? Je ne cherche à apprendre que les types de cohomologies qui interviennent dans la formulation de la conjecture de Hodge, surtout la cohomologie des faisceaux. Pour être franc avec vous. Je n'ai jamais calculé une cohomologie de faisceaux sur des cas concrets : cercles ou tores ... etc. aidez moi svp.

Merci.
-----

[invite9dc7b526]

salut,

il y a un livre qui m'a bien aidé à avoir une intuition de ces choses, c'est celui de Fomenko "visual geometry and topology". Il ne donne pas de démonstration, c'est en quelque sorte de la vulgarisation, mais il explique de façon claire à quoi sert la cohomologie (et d'autres notions). Il a par contre le défaut d'être très mal traduit (du russe).

[invite5357f325]

a) Trouve un recouvrement acyclique du cercle.

b) écris le complexe de Cech

c) calcule sa cohomologie.

Variante : remplacer le cercle avec une sphère.

[Anonyme007]

Merci @minusha. J'irai voir si je peux me procurer ce livre. Merci.
@petrifie :
est ce que ta méthode s'utilise toujours lorsqu'on cherche à calculer une cohomologie de faisceaux ? On procède toujours de meme dans tous les cas ?
alors, on calcule directement la cohomologie des faisceaux d'une n-sphère. Le cas d'un cercle en découle. D'accord ?
a) Qu'est ce que c'est que un recouvrement acyclique ?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

Si F est un faisceau général ce n'est pas facile de calculer sa cohomologie. C'est pour ça que je t'ai proposé de regarder le faisceau constant Z sur le cercle.

Pour Z, un recouvrement acyclique c'est un recouvrement tel que pour tout on ait est vide ou contractile.

Ensuite, recopie le complexe de Cech. Calcule les applications de cobord et ensuite la cohomologie.

[Anonyme007]

ah d'accord, merci.
alors, on regarde le faisceau constant sur Z sur le cercle
a) Trouvons un recouvrement acyclique du cercle.
On considère un point sur le cercle et son antipode . alors on prend pour recouvrement acyclique le recouvrement avec : et et tel que : et les deux ouverts d'intersections sont contractiles ( sur un petit dessin, c'est évident ). est ce que c'est ça le recouvrement ?
Merci petrifie.

[invite5357f325]

Non, un espace non connecté n'est pas contractile. Il faut un autre recouvrement.

[Anonyme007]

mais et sont tous deux connexes ( connectés ??? ), non ? , Donc, sont tous deux contractiles, non ?

[invite5357f325]

Je pensais à U_1 = S^1 \ {N} et U_2 = S^1 \ {P}. Si c'est le cas U_{12} n'est pas connecté. Sinon peux tu décrire plus précisément U_1 et U_2 ?

Aussi U_{12} = U_{21} (l'intersection est commutative).

[Anonyme007]

Je pensais à U_1 = S^1 \ {N} et U_2 = S^1 \ {P}. Si c'est le cas U_{12} n'est pas connecté. Sinon peux tu décrire plus précisément U_1 et U_2 ?

Aussi U_{12} = U_{21} (l'intersection est commutative).

Moi aussi je pensais à ce recouvrement que tu viens de décrire. alors, c'est faux d'accord. Je prends note.
Mais c'est le seul recouvrement que je réussis à imaginer, Peux tu me préciser de quel recouvrement il s'agit ? Merci.

[invite5357f325]

Essaye de chercher d'abord.

[Anonyme007]

, non ?

[Anonyme007]

C'est faux. Il faut que : . Or ceçi est faux. Regardez ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nerf_d%27un_recouvrement

[invite5357f325]

Est ce que S^1 est contractile ?

[Anonyme007]

n'est pas contractile.
La réponse se trouve ici : https://faculty.math.illinois.edu/~m...cohomology.pdf

[invite5357f325]

Tu n'as toujours pas fait le calcul toi même, et dans 8 mois tu vas revenir avec la même question. Comme tu veux.

[Anonyme007]

Oui, je sais. Merci.
Demain, je viendrai voir si je peux rédiger ici une réponse proprement. J'ai un peu la flemme ce soir. Mon clavier ne contient pas beaucoup de touches. J'ai un ordinateur portable. et ça me fatigue de continuer à écrire sur ce clavier pourri. Je n'ai pas le choix.

[invite5357f325]

Rédiger = recopier le PDF que tu as trouvé ?

[Anonyme007]

Oui, c'est vrai. Pardon. Tout à été dit dans ce pdf. Mais, j'ai retenu la méthode. Ne t'inquiète pas.
Mais, j'ai une question. Ici, dans cet exemple de cohomologie du cercle qu'on vint de calculer, tu passes indirectement par la cohomologie de Cech, puis tu utilises l'isomorphisme qu'il y'a entre la cohomologie des faisceaux et la cohomologie de Cech. Ne peut-on pas utiliser directement la cohomologie des faisceaux sans passer par la cohomologie de Cech en utilisant le langage des résolutions et le langage des foncteurs dérivés ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

"qu'on vient de calculer" : pour le moment tu as copié le lien d'un PDF en ligne. Je vais arrêter de répondre pour le moment car je ne pense pas que cette manière de "travailler" va t'aider.

Si tu veux de l'aide, et comprendre comme ça marche, calcule par toi même d'abord la cohomologie du Ruban de Moebius en utilisant la cohomologie des faisceaux, puisque maintenant le cercle et la sphère n'ont plus de secret pour toi. Cet exemple n'est pas en ligne et je ne te donnerais pas la solution. Je t'ai indiqué les étapes plus haut, il faut un peu de méthode et de motivation.

[Anonyme007]

Je n'arrive pas à trouver un recouvrement acyclique au ruban de Mobius.

[invite5357f325]

Ce n'est pas grave, la topologie n'est pas un sujet facile. Pas la peine de demander sur d'autre forums ou de chercher sur internet, il te suffit d'un papier et de temps pour trouver un recouvrement acyclique. Des dessins peuvent aider.
Tu as compris comment faire pour le cercle ?

[Anonyme007]

Pour celui du cercle ça va.

Pour celui du ruban de Mobius, On ne peut pas prendre un recouvrement à deux ouverts pour les mêmes raisons que tu as cité plus haut pour le cercle. On voit alors si ça marche pour un recouvrement à trois ouverts, et cette fois çi oui, non ? on prend trois points équidistants sur la ligne du milieu du ruban de Mobius. On prend trois ouverts chacun contenant un de ces trois points et à intersection non vide et avec : et et contractile. ça marche comme ça ?

Pardon si j'écris lentement, parce que mon clavier ne contient pas plusieurs touches. ça m'exige de faire un copier coller pour chaque caractère. C'est fastidieux.

[invite5357f325]

Oui ce recouvrement marche. C'est effectivement "le même" que celui du cercle : pourquoi ?

Maintenant prenons : trouve le recouvrement, et calcule H^1. Tu peux commencer avec n = 2 ou n=1 si tu veux.

[Anonyme007]

Oui ce recouvrement marche. C'est effectivement "le même" que celui du cercle : pourquoi ?

Parce que le cercle est un retracte par déformation du ruban de Mobius ?

[Anonyme007]

Oui ce recouvrement marche. C'est effectivement "le même" que celui du cercle : pourquoi ?

Parce que plutôt le ruban de Mobius et le cercle sont homotopiquement équivalents, non ?

[invite5357f325]

Oui pour le ruban de Möebius.

Je suis désolé, en fait on a pas besoin d'un recouvrement avec des intersections contractiles, il suffit d'avoir des intersections acycliques (donc le recouvrement du cercle que tu proposais marchait).

Comme tu as compris comment les recouvrements marchaient, je te donne celui de et je te laisse écrire le complexe de Cech et calculer sa cohomologie.

Il faut prendre deux ouverts : avec .

Le complexe est donc de la forme . Il faut calculer les sections globales, les différentielles et ensuite la cohomologie.

[Anonyme007]

Les ouverts et sont connexes, donc :
.
D'où :
et :
Si , alors :
Par conséquent :
et : .
Non ?

[invite5357f325]

L'intersection n'est pas connexe. Pour n = 2 est ce que tu pourrais décrire les ouverts ?

[Anonyme007]

, avec :

et :

Tout connexe par arc, est connexe, non ?