Équivalence de deux equations

**worxfg** · 27/07/2018, 12h30

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Bonjour, voici un exercice de math que j'essayais de faire cependant je bloque lorsqu'il faut passer de l'équation avec racine à l'équation sans racine, je ne trouve pas.
Merci d'avance si quelqu'un trouve la réponse.

**henryallen** · 27/07/2018, 18h43

Bonsoir,

On a:
$\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a \Leftrightarrow \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$ .
Donc en élevant au carré:
$(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+(x+c)^{2}+y^{2}$ , donc:
$(x-c)^{2} - (x+c)^{2} -4a^{2} = -4a \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$ , ainsi on a:
$x^{2}-2cx+c^{2}-x^{2}-2cx-c^{2}-4a^{2}=-4a \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$ , donc:
$-4cx-4a^{2}=-4a \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$ , et:
$cx+a^{2}=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}$ , et ainsi, en élevant de nouveau au carré:
$(cx+a^{2})^{2}=a^{2}[(x+c)^{2}+y^{2}]$ donc:
$c^{2}x^{2}+2cxa^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}+2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$ , et on a alors:
$c^{2}x^{2}+a^{4}=a^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}$ , puis en factorisant:
$x^{2}(a^{2}-c^{2}) + y^{2}a^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$ .

Bonne soirée.

**worxfg** · 28/07/2018, 16h40

J'ai compris, merci pour votre aide.

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