Groupe totalement ordonnée et non archimédien

[mehdi_128]

Bonjour,
Soit E l'ensemble des fonctions affines définies sur R.
Considérons le groupe ordonné muni de l'ordre lexicographique.

si ou ( et )

Considérons les fonctions suivantes :
et

1/ Montrer que f et g sont strictement positives pour la relation d'ordre
Je ne vois pas comment faire...

2/ Montrer que où n est un entier naturel et
On a toujours 0<1 donc
Je vois pas comment montrer
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[invite9dc7b526]

Comme on est dans un groupe et pas un espace vectoriel, il faut comprendre nf comme un raccourci pour f+f+...+f où il y a n termes (mais ça revient au même que si on était dans l'espace vectoriel sur R). Tu devrais écrire ce qu'est nf(x) pour un réel x, et le comparer à g(x). Si tu trouves au moins un réel x pour lequel ces valeurs diffèrent, alors tu auras prouvé que nf est différent de g.

[gg0]

Pour le 1, il suffit d'appliquer la définition, en écrivant f(x)=0x+1 et g(x)=1x+0. Les fonctions de E sont des fonctions affines, avrec un coefficient directeur et une "ordonnée à l'origine".

Cordialement.

[mehdi_128]

Comme on est dans un groupe et pas un espace vectoriel, il faut comprendre nf comme un raccourci pour f+f+...+f où il y a n termes (mais ça revient au même que si on était dans l'espace vectoriel sur R). Tu devrais écrire ce qu'est nf(x) pour un réel x, et le comparer à g(x). Si tu trouves au moins un réel x pour lequel ces valeurs diffèrent, alors tu auras prouvé que nf est différent de g.

Par exemple, et il suffit de prendre n=x on aura toujours égalité ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Pour le 1, il suffit d'appliquer la définition, en écrivant f(x)=0x+1 et g(x)=1x+0. Les fonctions de E sont des fonctions affines, avrec un coefficient directeur et une "ordonnée à l'origine".

Cordialement.

J'ai pas compris ce que veut dire strictement positif dans cette relation d'ordre ...

[invite9dc7b526]

il suffit de prendre n=x on aura toujours égalité ?

tu aurais pu dire "il suffit de prendre x=2", ça aurait au moins eu un sens. Et je t'aurais dit de choisir une autre valeur de x. Mais là... les bras m'en tombent.

[mehdi_128]

tu aurais pu dire "il suffit de prendre x=2", ça aurait au moins eu un sens. Et je t'aurais dit de choisir une autre valeur de x. Mais là... les bras m'en tombent.

Ah j'ai compris :

et
et

Si on fixe n :

Mais :
donc

[Merlin95]

A quel ensemble appartient n ? Si c'est à IN alors tu peux écrire cela ainsi :
n f(-1) = n
g(-1) = -1

comme n>=0, on a donc n f(-1) <> g(-1) donc n f <> g

[mehdi_128]

A quel ensemble appartient n ? Si c'est à IN alors tu peux écrire cela ainsi :
n f(-1) = n
g(-1) = -1

comme n>=0, on a donc n f(-1) <> g(-1) donc n f <> g

Ah merci en effet c'était plus rapide car n est un entier naturel quelconque.

Vous avez une idée pour montrer que f et g sont strictement positives pour cette relation d'ordre ?

[Merlin95]

ben les deux fonctions (0,1) et (1,0) sont strictement supérieures à la fonction (0,0)

[mehdi_128]

Ca veut dire quoi strictement supérieure à la fonction (0,0) pour cette relation d'ordre ?
Comment le montrer ?

[Merlin95]

Ben il suffit de trouver a et b pour les fonctions en question, et d'appliquer la définition de la relation d'ordre :

si ou ( et )

[Merlin95]

f(x) = 1 donc a = 0, b = 1, f = (0, 1)
g(x) = x donc a = 1, b =0, g = (1, 0)
si O(x) = 0, a = 0, b = 0, O = (0, 0)

on a alors et suivant la définition de la relation d'ordre étendu par la relation d'ordre stricte, qui s'étend naturellement comme ceci :

si ou ( et )

[gg0]

Mehdi_128:

J'ai pas compris ce que veut dire strictement positif dans cette relation d'ordre ...

Dans celle-ci, comme dans d'autres concernant un groupe noté additivement (élément neutre noté 0), strictement positif veut dire non nul et supérieur à 0. Quelle est la fonction affine nulle ?

[mehdi_128]

Mehdi_128: Dans celle-ci, comme dans d'autres concernant un groupe noté additivement (élément neutre noté 0), strictement positif veut dire non nul et supérieur à 0. Quelle est la fonction affine nulle ?

La fonction nulle est :

[mehdi_128]

f(x) = 1 donc a = 0, b = 1, f = (0, 1)
g(x) = x donc a = 1, b =0, g = (1, 0)
si O(x) = 0, a = 0, b = 0, O = (0, 0)

on a alors et suivant la définition de la relation d'ordre étendu par la relation d'ordre stricte, qui s'étend naturellement comme ceci :

si ou ( et )

Merci bien j'ai tout compris