Partie entière

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit et la fonction définie de sur par :



1/ La fonction est-elle croissante sur ?
2/ La fonction est-elle croissante sur ?

Je n'ai aucune idée de comment résoudre le problème. Je ne sais pas dériver un coefficient binomial.
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[gg0]

Bonjour.

C'est une fonction définie sur un intervalle d'entiers, donc à priori, pas de dérivation.
Première chose, écris un triangle de Pascal puis regarde ce que dit ton énoncé pour les coefficients binomiaux (tu auras même la réponse pour n petit).
Ensuite, ta fonction est simplement une suite finie, et tu connais les outils pour parler de croissance ou de décroissance d'une suite.

Cordialement.

[mehdi_128]

J'ai calculé :

du coup je peux pas savoir si le quotient est supérieur à 1 ou pas

[jacknicklaus]

J'ai calculé :

du coup je peux pas savoir si le quotient est supérieur à 1 ou pas

pour quoi ce calcul ?
ce qu'on te demande, c'est la croissance de pour n fixé, et où k est la variable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

J'ai fait une erreur de frappe :



Donc :

Mais le signe de n'est pas constant comment faire ?

[gg0]

On s'en moque de ce signe ! Quelle est la condition de croissance ?

De plus le signe est constant (+) puisque k ne dépasse pas n.
Je crois que tu devrais attendre des jours moins chauds pour faire des maths ...

[mehdi_128]

La condition de croissance est :

Or : soit

Donc :

Par ailleurs :

Alors :

J'ai pas réussi à obtenir un encadrement du genre inférieur ou égal à 1

[invite23cdddab]

On te demande la croissance de la fonction sur l'intervalle [| 0, E((n+1)/2) |], pas sur [|0,n|]...

[jacknicklaus]

Tu fais dans le compliqué pour un truc tout simple.

C'est croissant si (n-k)/(k+1) >= 1, c'est ce que tu as écrit, c'est bon.
donc n-k >= k+1
donc (n-1)/2 >= k
or k<=E((n+1)/2)
donc ...

[invite51d17075]

edit doublon avec les mess précédent.
on demande aussi la croissance ou pas sur l'autre intervalle, mais c'est le même raisonnement.

[invite51d17075]

Tu fais dans le compliqué pour un truc tout simple.

C'est croissant si (n-k)/(k+1) >= 1, c'est ce que tu as écrit, c'est bon.
donc n-k >= k+1
donc (n-1)/2 >= k
or k<=E((n+1)/2)
donc ...

dans cet intervalle, ce n'est pas immédiat car (n-1)/2 diff (n+1)/2
il y a une petite subtilité.
dans l'autre intervalle , c'est immédiat.

[Merlin95]

Je vois pas bien la cohérence de cet exercice, en effet :

Si n est impair et pour k = E((n+1)/2) on a k = (n+1)/2
et donc comme on a (n-1)/2 < (n+1)/2, alors fn n'est pas croissante sur [| 0, E((n+1)/2) |]

si n est pair et pour k = E((n+1)/2) on a k = n/2
et donc comme on a (n-1)/2 < n/2, alors fn n'est pas croissante sur [| 0, E((n+1)/2) |]

par contre pour k sur [| E((n+1)/2), 0 |] on a toujours (n-1)/2 < k, donc fn y est décroissante

mais quelque chose cloche-t-il ?

[invite51d17075]

Je vois pas bien la cohérence de cet exercice, en effet :

Si n est impair et pour k = E((n+1)/2) on a k = (n+1)/2
et donc comme on a (n-1)/2 < (n+1)/2, alors fn n'est pas croissante sur [| 0, E((n+1)/2) |]

raisonnement faux.
ce qu'on a c'est que la fonction est croissante SI k<=(n-1)/2
donc tu ne peux pas partir de k<=(n-1)/2 pour montrer qu'elle est croissante.
on sait juste que k<=E((n+1)/2)

[Merlin95]

j'ai tenté de montrer qu'elle n'est pas croissante.

[invite51d17075]

si n est impair , alors n=2p+1
et (n+1)/2=p+1et E((n+1)/2)=p+1
tant que k<=(n-1)/2=p , alors elle est croissante
reste le cas k=p+1 et on montre que ( en gardant n=2p+1)

[invite51d17075]

j'ai tenté de montrer qu'elle n'est pas croissante.

alors pas compris , elle bien croissante sur le premier intervalle et décroissante ensuite.

[Merlin95]

alors pas compris , elle bien croissante sur le premier intervalle et décroissante ensuite.

je me suis fourvoyé car je suis parti d'un message de jacknicklaus qui s'est trompé sur un intervalle. Voir ci-dessous

Tu fais dans le compliqué pour un truc tout simple.

C'est croissant si (n-k)/(k+1) >= 1, c'est ce que tu as écrit, c'est bon.
donc n-k >= k+1
donc (n-1)/2 >= k
or k<=E((n+1)/2)
donc ...

non, on a k < E((n+1)/2)

pour n impair avec n = 2p+1 on a k < p + 1, k <=p comme p = (n-1)/2, on a donc (n-1)/2 >= k

[mehdi_128]

Tu fais dans le compliqué pour un truc tout simple.

C'est croissant si (n-k)/(k+1) >= 1, c'est ce que tu as écrit, c'est bon.
donc n-k >= k+1
donc (n-1)/2 >= k
or k<=E((n+1)/2)
donc ...

Donc est croissante sur

Or

Donc est croissante sur

Maintenant je vois pas comment on peut savoir sur ...

[invite51d17075]

ben je viens de l'expliquer dans mon dernier post.!
dans le cas n impair, à toi de le faire pour n pair..
relis le.

[Merlin95]

Edit : message précédent de mehdi_128 édité

[invite51d17075]

je me suis fourvoyé car je suis parti d'un message de jacknicklaus qui s'est trompé sur un intervalle. Voir ci-dessous
non, on a k < E((n+1)/2)

relis l'énoncé, c'est bien <= et pas strictement inférieur (l'intervalle est fermé )
en fait c'est la seule difficulté de l'exercice.

[Merlin95]

Non c'est bien < car on compare fn(k) à fn(k+1), k doit donc varier de 0 à E((n+1)/2) -1

[mehdi_128]

si n est impair , alors n=2p+1
et (n+1)/2=p+1et E((n+1)/2)=p+1
tant que k<=(n-1)/2=p , alors elle est croissante
reste le cas k=p+1 et on montre que ( en gardant n=2p+1)

J'ai pas compris votre raisonnement.

[invite51d17075]

Non c'est bien < car on compare fn(k) à fn(k+1), k doit donc varier de 0 à E((n+1)/2) -1

pourquoi tu insistes

1/ La fonction est-elle croissante sur

E((n+1)/2) est compris dans l'intervalle fermé

[invite51d17075]

J'ai pas compris votre raisonnement.

quel passage ne comprends tu pas ?
est tu déjà d'accord pour dire que si k<=(n-1)/2 alors la suite est croissante ?

[Merlin95]

J'insiste car j'ai raison mais vous ne me lisez pas correctement (je ne dis pas que vous avez tord, mais ca n'a pas de rapport avec ce que j'ai écrit). Et encore une fois vous me prenez de haut.

Dernière tentative :
Oui, E((n+1)/2) est compris dans l'intervalle fermé et on atteind bien la comparaison de f(i)/f(i+1) à 1 pour i variant de 0 à E((n+1)/2)-1.

car en effet pour i = E((n+1)/2) -1 on aura comparé fn(E((n+1)/2) -1) à fn(E((n+1)/2)) et on aura démontrer fn(i)/fn(i+1) <=1 sur l'intervalle [|0, E((n+1)/2)|].

si on évalue fn(i)/fn(i+1) >= 1 pour i = E((n+1)/2) alors on comparera fn(E((n+1)/2))/fn(E((n+1)/2)+1) ce qui n'est pas ce qui est demandé pour étudier la croissance de fn sur [|0, E((n+1)/2)|].

ps : du coup votre démonstration est inutilement compliquée

[invite51d17075]

avec toutes mes excuses , le calcul est bien au départ f(k+1)/f(k) !

[Merlin95]

@mehdi_128

tu dois établir que
pour k variant de 0 à
c'est vrai pour k variant de 0 à car on a toujours

reste le cas k =
si n pair
si n impair

du coup on a pour k variant de 0 à

ce qui prouve que fn est croissante sur

[mehdi_128]

Quel est le lien entre et ?

Car

[mehdi_128]

@mehdi_128

tu dois établir que
pour k variant de 0 à
c'est vrai pour k variant de 0 à car on a toujours

reste le cas k =
si n pair
si n impair

du coup on a pour k variant de 0 à

ce qui prouve que fn est croissante sur

2 questions :

Comment montrer que :

Si c'est vrai pour k variant de 0 à

Donc fn est croissante sur non ?