Intégrable convergente
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Intégrable convergente



  1. #1
    Scientist_75

    Intégrable convergente


    ------

    Bonjour, j'ai un petit problème avec la correction d'un exercice de maths sur les intégrales impropres.

    Dans les pièces ci-joint ils disent que en 1 l'intégrable converge si alpha < 1 mais je ne comprends pas pourquoi sachant que selon les critères de Riemann elle converge ssi alpha > 1. Quelqu'un serait en mesure de m'expliquer ?

    -----
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  2. #2
    jacknicklaus

    Re : Intégrable convergente

    Pour la première, on a une forme 1/t2a+1 qui converge si t->infini à condition que 2a+1 > 1 soit a > 0

    Pour le seconde, tu peux poser z=(t-1)-1 de sorte que si t->1 alors z->infini,
    la fonction est alors 1/z-a qui converge si z->infini à condition que -a > 1 soit a < 1
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  3. #3
    Scientist_75

    Re : Intégrable convergente

    Super, je vous merci pour votre explication. Mais il y a un truc dont je viens de me rendre compte, en fait je n'ai même pas compris pourquoi la fonction qu'on intègre était équivalente à ln(2)/(2*(t-1))^a au voisinage de 1.

    J'ai essayer de retrouver cela avec un développement limité mais je n'ai pas réussi, peut-on me l'expliquer svp ?

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrable convergente

    Rappel :

    Si , alors, au voisinage de a,
    Il suffit de regarder la limite du numérateur, et de factoriser x²-1 puis voir la limite de

    Cordialement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Scientist_75

    Re : Intégrable convergente

    Ok merci bien je comprends mieux, mais alors dans ce cas il vient d'ou le facteur 2^a au dénominateur ?

  7. #6
    Scientist_75

    Re : Intégrable convergente

    Citation Envoyé par jacknicklaus Voir le message
    Pour la première, on a une forme 1/t2a+1 qui converge si t->infini à condition que 2a+1 > 1 soit a > 0

    Pour le seconde, tu peux poser z=(t-1)-1 de sorte que si t->1 alors z->infini,
    la fonction est alors 1/z-a qui converge si z->infini à condition que -a > 1 soit a < 1
    C'est pas a < -1 pour que -a > 1 ?

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégrable convergente

    Pour le facteur 2^a, l'origine est le x+1 qui vient de x²-1=(x+1)(x-1) ; c'est tellement élémentaire que je n'avais pas osé développer.
    Et effectivement -a>1 donne bien a<-1. mais comme ce n'est pas une puissance -a au dénominateur, le corrigé est bon.

    Cordialement
    Dernière modification par gg0 ; 19/08/2018 à 17h41.

  9. #8
    Scientist_75

    Re : Intégrable convergente

    Ah merde effectivement je n'avais pas du tout fait attention qu'il fallait remplacer le t par 1 au dénominateur, je suis tellement à l'ouest des fois ^^

    Merci pour vos précisions.

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