Montrer qu'un nombre est irrationnel

[mehdi_128]

Bonsoir,

1/ Montrer que est irrationnel.

avec a/b une fraction irréductible, a entier relatif et b entier relatif non nul.

Ce qui est équivalence à :

Par passage à l'exponentielle qui est définie sur :

Et là je bloque.
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[invite23cdddab]

Quelle est la parité de 3^b? De 2^a? Rappel : a et b sont des entiers

[mehdi_128]

Si b est pair alors est pair si b est impair est impair.

est toujours pair quelque soit a.

Mais je comprends pas à quoi ça non avance car on suppose ln(3)/ln(2)=a/b où a et b son des entiers relatifs fixés ... Et on sait pas s'ils sont pairs ou impairs.

[pm42]

Si b est pair alors est pair si b est impair est impair.

Et non. Tu confonds avec la multiplication... C'est une simple décomposition en facteurs premiers. n'a jamais 2 comme facteur donc il n'est jamais pair.
Encore une fois, un simple calcul sur 2 valeurs t'éviterait ce genre d'erreur niveau collège.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Merlin95]

Si b est pair alors

Ha bon ? donc est pair ?

Ca serait bien mieux si vous essayiez de comprendre ce que signifie ce que vous écrivez.

[mehdi_128]

En effet, encore une erreur d'étourderie

On peut justifier en disant que la décomposition en facteurs premiers étant unique :

2 ne divise pas donc 2 n’apparaît pas dans la décomposition en facteurs premiers de ou bien seulement sous la forme

Or a est différent de 0 et 2 apparait dans la DFP de avec une puissance a non nulle d'où la contradiction.

C'est juste ?

[Merlin95]

b est par hypothèse différent de 0 et a est différent de 0, sinon ca voudrait dire que ln(3)/ln(2) = 0 ce qui est impossible

[mehdi_128]

Dans la décomposition en facteurs premiers, on ne tient pas compte du 1 donc votre remarque sur le est inappropriée.

Vous avez raison 1 n'est pas premier !

J'en ai un dernier pour la route :

Irrationalité de
On pourra s'aider de la valuation p adique d'un entier

J'écris : où a/b est une fraction irréductible, a entier relatif, b entier relatif non nul.

C'est équivalent à :

Je vois pas comment calculer valuation de l'entier 2 mais je sais pas si 2 divise
Pareil pour je sais pas si 2 divise

[mehdi_128]

b est par hypothèse différent de 0 et a est différent de 0, sinon ca voudrait dire que ln(3)/ln(2) = 0 ce qui est impossible

Pourquoi vous avez effacé votre remarque avec le

Certains auteurs font apparaître en puissance 0 les nombres premiers qui ne sont pas diviseurs d'un nombre dans sa décomposition en facteurs premiers.

[Merlin95]

parcequ'effectivement pour parler de la décomposition en nombres premiers de , il faut qu'effectivement a soit différent de 0.
Mais c'est vrai que dans la décomposition d'un nombre en facteurs premiers on ne tient pas compte des facteurs dont l'exposant est 0.

[Merlin95]

Irrationalité de
On pourra s'aider de la valuation p adique d'un entier

J'écris : où a/b est une fraction irréductible, a entier relatif, b entier relatif non nul.

C'est équivalent à :

Je vois pas comment calculer valuation de l'entier 2 mais je sais pas si 2 divise
Pareil pour je sais pas si 2 divise

Je ne connais pas les valuations p-adiques il faudrait attendre la réponse d'une personne plus calée.

Sinon donc 2 divise donc ,
d'ou donc 2 divise ce qui est contradictoire avec le fait que a et b sont premiers entre eux.

[mehdi_128]

Merci bien

Oui on trouve 2 divise a puis au final 2 divise b mais a et b premiers entre eux donc aucun diviseur en commun, contradiction.

La valuation p adique d'un nombre premier p est l'exposant de ce nombre premier p dans la décomposition en facteurs premiers.

Exemple :
On a : et

[invite23cdddab]

La valuation p-adique a une propriété intéressante :

[mehdi_128]

La valuation p-adique a une propriété intéressante :

Ah merci.

DOnc où k est un entier naturel.

où k' est entier naturel car on a dit que 2 divise donc 2 divise b.