Algèbre niveau sup - kerf C Imf en dimension 3

[Agreg1984]

Bonjour à toutes et à tous,

Je bloque actuellement sur un petit point d'un exo d'algèbre. Je ne vous donne pas l'énoncé complet, mais les infos à mon sens importantes sont les suivantes :
On se place dans un ev E de dimension 3, f est un endomorphisme de E tel que f²=f³. On a donc 6 cas de figure :
cas 1 : dim ker f = 0
cas 2 : dim kerf = 1 et ker f C Im f
cas 3 : dim kerf = 1 et kerf et Im f sont supplémentaires
cas 4 : dim kerf = 2 et Imf f C Ker f
cas 5 : dim kerf = 2 et kerf et Im f sont supplémentaires
cas 6 : dim kerf = 3

Je ne comprends absolument pas ce qui est en gras dans les cas 2 et 4. Ok, on a dim kerf = 1, dim Im f = 2 mais pourquoi kerf serait-il soit inclus dans Im f soit son supplémentaire ? kerf ne pourrait-il pas n'être ni l'un ni l'autre ?

Merci d'avance pour votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

Par le théorème du rang, si dim(ker(f))=1 alors dim(I(f))=2. Pour des sev G et H d'un ev E de dimension 3, si dim(G)=1 et dim(H)=1, soit H est contenu dans G, soit l'intersection de G et H est réduite à 0, et vu les dimmensions H+G= E, et la somme est directe.

Cordialement.

[Agreg1984]

Bonjour gg0, merci pour ta réponse. Je vais juste reprendre ce que tu as écrit et poser une autre question.

Supposons qu'on ait un ev E de dim 3, deux sev G et H tels que dim(H)=1 et dim(G)=2.
Si l'intersection est réduite à 0, ils sont supplémentaires, ok. Si ce n'est pas le cas, vu qu'ils ont un élément en commun non nul, notons le u par exemple, et comme dim(H)=1, H = Vect(u) donc dans ce cas je comprends (enfin) que H est inclus dans G.

Mais sommes-nous d'accord que ce n'est valable que parce que H est de dimension 1 ? Si nous avions un ev E de dimension 4 et deux sev G et H de dimension 2, dans ce cas là nous n'aurions pas que deux possibilités : H inclus dans G ou H et G supplémentaires, non ?

En revanche dans le cas général où E est un ev de dimension n, H et G deux sev tels que dim(H)=1 et dim(G)=n-1, nous ne pouvons avoir que les deux cas de figure précédents ?

Merci encore.

[gg0]

Effectivement, en dimension quelconque au moins égale à 2, ce raisonnement ne peut se faire qu'entre une droite vectorielle (dimension1) et un hyperplan (dimension n-1). Mais d'autres raisonnements sur les dimensions peuvent se faire. Il faut t'habituer à utiliser toutes les ressources de l'algèbre linéaire pour comprendre ce qui se passe.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Agreg1984]

Merci encore gg0. Il se trouve qu'en sortant de prépa il y a 12 ans j'étais plutôt à l'aise, mais la reprise est dure !

Je te souhaite une excellente journée.