base de Fourier

[fabio123]

Bonjour,

en cherchant des informations sur la relation de fermeture, je suis tombé sur le post suivant :

https://forums.futura-sciences.com/m...fermeture.html

Je considère l'espace des fonctions périodiques définies sur de période muni du produit hermitique :


Il me semble que pour que la base de fourier correspondante en soit une (base) il faut montrer la relation de fermeture :



le truc c'est que, autant avec les TF je vois comment faire le calcul autant là avec la série je suis un peu perdu.

Est ce que quelqu'un peut m'aider svp ?

Je ne comprends pas bien le raisonnement de gatsu. Si je veux prouver qu'une fonction périodique peut s'écrire sous la forme :



avec

Je dois alors prouver que les vecteurs sont tels qu'avec le produit scalaire hermitien, on a :



Je ne comprends pas le but de trouver la relation ci-dessous de gatsu pour démontrer "la base de Fourier" :



Si quelqu'un pouvait m'expliquer, ça serait sympa, merci.
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[fabio123]

vraiment personne pour un peu d'aide ?

[invite6710ed20]

Bonjour
Ce n'est pas la peine de chercher à comprendre, la relation étant fausse.
Le second membre étant égal à 1.

[PhilTheGap]

Je subodore que l'auteur du post pensait à prendre la FFT (TF Discrète) de la base de Fourier, et puis à lui appliquer le produit scalaire discret. On a alors une condition nécessaire (pas suffisante je pense) à vérifier. Il faut donc faire les calculs. Mais on tombe sûrement sur une somme semblable à celle que tu nous a donné, mais un peu différente...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6710ed20]

Bonjour

Je corrige mon post précédent car après vérification il y a bien le facteur 1/L devant la somme. J'avais cru que c'était 1.
Et de plus (si j'ai bien compris) la question ce n'est pas de calculer la somme mais de dire pourquoi il faut montrer qu'en plus ces des relations d' orthonormalité, ilfaut cette somme pour avoir une base .

Comme le dit @PhilTheGap cette relation est une condition nécessaire et cela se montre facilement (il suffit de regarder n'importe quel cours).
Néanmoins la condition est-elle suffisante? Je ne sais vraiment pas et j'ai regardé un peu ici et là et je n'ai pas trouvé. Donc je ne répond pas précisément à la question .

Peut être que quelqu'un d'autre pourra le faire.

Ceci étant dit, on peut montrer que l'on a bien une base puisque la famille correspond aux vecteurs propres d'un certain opérateur autoadjoint, en l'occurrence le Laplacien.

[PhilTheGap]

Comme les fonctions sont périodiques, je pense qu'on doit pouvoir montrer que la condition est suffisante.

[invite6710ed20]

Bonjour
Tu veux peut être dire, ce qui revient au même parce qu'on est sur un compact et que la base est dénombrable.
Moi aussi j'ai envie de dire que c'est suffisant. Mais je n'en suis pas sûr.
En tout cas si c'est vrai alors ça doit être un résultat connu et on devrait le voir quelque part.

[fabio123]

Excusez moi, je pensais qu'il n'y avait pas eu d'autres réponses à mon premier post.

Concernant la relation :



il me semble que ça correspond à la décomposition en série de Fourier d'un peigne de Dirac de période L :



Mais il y a une translation entre le peigne Peigne-Dirac en (2) et la relation (1).

Q1) La relation (1) n'est alors pas tout à fait exacte car elle ne fait apparaître qu'un Dirac et non un peigne ?

Q2) Quel est l'intérêt d'introduire ce paramètre dans la démonstration que l'on veut faire, avec l'orthogonalité des exponentielles, pour prouver l'existence d'une base de Fourier ?

Merci pour votre aide

[fabio123]

je reviens un peu tard. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner une ébauche de démonstration pour prouver que l'égalité issue du premier post :



avec le produit scalaire auclidien :




est une condition nécessaire à l'existence d'une base (la base de Fourier) formée de vecteurs ?

[fabio123]

désolé de revenir à la charge, j'avais laissé ça de coté et je suis en pleines révisions et aurais besoin d'une petite démo (ou plusieurs, je ne suis pas contre) concernant l'égalié :



avec le produit scalaire :



Je vous serais reconnaissant d'un lien ou d'une ébauche pouvant m'aider.

[invite23cdddab]

Déjà, il faut donner un sens rigoureux à .

J'ai envie de l'interpréter comme

Quelque soit continue,




Pour simplifier, on peut se ramener à a=0 et L=2 (en posant f(x) = g(x/L+a )

Ensuite, comme les polynômes sont denses, on va s’intéresser à



Ce qui se réécrit



Si ou ,


Si ,






Donc par récurrence immédiate, pour tout m et k,



Ainsi, I(m) = 1 si m = 0 et 0 sinon

On a donc, pour tout polynôme P,




Maintenant, par densité des polynômes dans les fonctions continues (pour la norme infinie), pour toute fonction f continue, quelque soit , il existe P tel que








D'où le résultat.