Espace complet

**mehdi_128** · 22/08/2018, 00h29

Bonsoir,

J'ai une petite question sur la définition :

Un ensemble E muni d'une norme est complet lorsque toute suite de Cauchy d'éléments de E converge.

Il faut que la convergence ait lieu dans E forcément ?
Si une suite de réels ne converge pas dans $\text{[math]}$ parle t-on toujours de convergence ?
Quand on parle de convergence d'une suite de rationnels, si la limite n'est pas un rationnel y a-t-il convergence ?

**erik** · 22/08/2018, 00h36

Il faut que la convergence ait lieu dans E forcément ?

oui.

Si une suite de réels ne converge pas dans IR parle t-on toujours de convergence ?

Si une suite de réels est convergente, c'est forcément dans IR.

Quand on parle de convergence d'une suite de rationnels, si la limite n'est pas un rationnel y a-t-il convergence ?

Oui.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 00h57

Pourquoi une suite de réels devrait converger dans IR pour être convergente alors qu'une suite de rationnels peut converger ailleurs que dans Q ?
Y a pas une erreur ?

**mehdi_128** · 22/08/2018, 01h24

Pourquoi dans la définition d'espace complet, ils précisent pas que la convergence doit avoir lieu dans E ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**albanxiii** · 22/08/2018, 07h23

Bonjour,

Envoyé par mehdi_128

Quand on parle de convergence d'une suite de rationnels, si la limite n'est pas un rationnel y a-t-il convergence ?

Convergence dans $\text{[math]}$ oui, en considérant $\text{[math]}$ comme sous ensemble.
Convergence dans $\text{[math]}$ : non.
D'ailleurs, $\text{[math]}$ n'est pas complet pour la norme usuelle (valeur absolue).

**Seirios** · 22/08/2018, 07h25

Il faut faire la distinction entre les propriétés d'un espace et les propriétés d'un sous-espace. Par exemple, un espace métrique (E,d) est complet si toute suite de Cauchy est convergente. Ici, la convergence doit nécessairement se faire dans E parce que c'est une propriété de E, aucun autre espace n'est considéré dans cette phrase. Mais un sous-espace F est fermé si toute suite dans F qui converge (dans E) doit converger dans F. Ici, tu as deux espaces, donc préciser où se fait la convergence est primordial.

Si tu veux prendre l'exemple précis des rationnels, alors Q n'est pas complet, parce que tu peux construire des suites de Cauchy qui ne sont pas convergentes. Le fait que tu puisses plonger Q dans R, et que les suites de Cauchy de Q convergent dans R n'a pas d'importance : tu peux faire quelque chose de similaire pour n'importe quel espace métrique (c'est la complétion).

**erik** · 22/08/2018, 08h13

Envoyé par mehdi_128

Pourquoi une suite de réels devrait converger dans IR pour être convergente

Si tu as une suite de réels convergente, comment veux tu que sa limite ne soit pas dans IR ??
Elle pourra converger vers un entier, un rationnel, un nombre transcendant, n'importe quoi, mais on reste toujours dans IR.

**gg0** · 22/08/2018, 09h26

Envoyé par mehdi_128

Pourquoi dans la définition d'espace complet, ils précisent pas que la convergence doit avoir lieu dans E ?

Ben ... il n'y a que E dans la définition comme ensemble, dans quoi voudrais-tu que ça converge ?

Si tu reviens à Q, l'ensemble des rationnels, il n'est pas complet parce que certaines suites de rationnels ne convergent pas. "Oui, mais elles convergent dans R" Et voilà la tricherie, tu as changé de situation, d'ensemble, tu as changé le sens du mot "converge", tu ne parles plus de suite de rationnels, mais de suite de réels qui sont tous des rationnels.
"En voiture, il faut rouler sur la droite de la chaussée" "oui mais j'ai roulé à gauche en Angleterre"
Comprendre le contexte est primordial.

Peut-être aussi revoir la définition de "suite convergente" dans le cadre d'un ensemble muni d'une norme.

Cordialement.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 16h57

Envoyé par erik

Si tu as une suite de réels convergente, comment veux tu que sa limite ne soit pas dans IR ??
Elle pourra converger vers un entier, un rationnel, un nombre transcendant, n'importe quoi, mais on reste toujours dans IR.

Pourquoi pas un nombre complexe ?

**mehdi_128** · 22/08/2018, 16h59

Envoyé par Seirios

Il faut faire la distinction entre les propriétés d'un espace et les propriétés d'un sous-espace. Par exemple, un espace métrique (E,d) est complet si toute suite de Cauchy est convergente. Ici, la convergence doit nécessairement se faire dans E parce que c'est une propriété de E, aucun autre espace n'est considéré dans cette phrase. Mais un sous-espace F est fermé si toute suite dans F qui converge (dans E) doit converger dans F. Ici, tu as deux espaces, donc préciser où se fait la convergence est primordial.

Si tu veux prendre l'exemple précis des rationnels, alors Q n'est pas complet, parce que tu peux construire des suites de Cauchy qui ne sont pas convergentes. Le fait que tu puisses plonger Q dans R, et que les suites de Cauchy de Q convergent dans R n'a pas d'importance : tu peux faire quelque chose de similaire pour n'importe quel espace métrique (c'est la complétion).

Merci mais je n'ai pas vu les espaces métriques, ce n'est pas de mon niveau.

invite9dc7b526 · 22/08/2018, 17h02

Tu étudies les espaces complets sans connaître les espaces métriques? voilà qui est singulier.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 17h03

Envoyé par gg0

Ben ... il n'y a que E dans la définition comme ensemble, dans quoi voudrais-tu que ça converge ?

Si tu reviens à Q, l'ensemble des rationnels, il n'est pas complet parce que certaines suites de rationnels ne convergent pas. "Oui, mais elles convergent dans R" Et voilà la tricherie, tu as changé de situation, d'ensemble, tu as changé le sens du mot "converge", tu ne parles plus de suite de rationnels, mais de suite de réels qui sont tous des rationnels.
"En voiture, il faut rouler sur la droite de la chaussée" "oui mais j'ai roulé à gauche en Angleterre"
Comprendre le contexte est primordial.

Peut-être aussi revoir la définition de "suite convergente" dans le cadre d'un ensemble muni d'une norme.

Cordialement.

Donc une suite de rationnels qui a une limite dans R mais pas dans Q ne converge pas ?

Ma définition de suite convergente est :

On dit qu'une suite $\text{[math]}$ converge (dans $\text{[math]}$ ) lorsqu'il existe un réel l tel que : $\text{[math]}$

invite51d17075 · 22/08/2018, 17h05

Envoyé par mehdi_128

Pourquoi pas un nombre complexe ?

parce que c'est impossible !
et c'est aisé à démontrer.

**Seirios** · 22/08/2018, 17h06

Envoyé par mehdi_128

Merci mais je n'ai pas vu les espaces métriques, ce n'est pas de mon niveau.

Tu peux remplacer "espaces métriques" par "espaces vectoriels normés" si tu veux. À noter que tu parles d'un "ensemble muni d'une norme" dans ton premier message, ce qui ne veut rien dire : une norme est définie sur un espace vectoriel, pas sur un ensemble quelconque.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 17h33

Envoyé par Seirios

Tu peux remplacer "espaces métriques" par "espaces vectoriels normés" si tu veux. À noter que tu parles d'un "ensemble muni d'une norme" dans ton premier message, ce qui ne veut rien dire : une norme est définie sur un espace vectoriel, pas sur un ensemble quelconque.

Ce n'est pas moi qui l'a écrit mais dans mon livre.
L'auteur précise : "un ensemble muni d'une norme (typiquement la valeur absolu dans IR ou le module dans C)

**mehdi_128** · 22/08/2018, 17h38

Envoyé par minushabens

Tu étudies les espaces complets sans connaître les espaces métriques? voilà qui est singulier.

Je suis dans la partie Analyse MPSI, chapitre sur les suites de réels et les séries, l'auteur fait quelques compléments sur les valeur d'adhérences, espaces complets (deux pages maxi) juste après le théorème de Bolzano-Weierstrass donnant une définition rapide et 2 exemples : $\text{[math]}$ est complet puis [TEX]\Q[/TEX n'est pas complet.

Juste après il donne le théorème : "une suite bornée de réels admet une unique valeur d'adhérence l, alors la suite $\text{[math]}$ converge vers l.

Ensuite il passe aux relations de comparaison.

Mais apparemment tout cela n'est plus au programme de MPSI : suite de Cauchy, valeur d'adhérence... Mais c'est bien d'en avoir entendu parler.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 17h42

Je n'ai jamais étudié les espaces métriques même en MP.

invite51d17075 · 22/08/2018, 17h43

sisi tj au programme de prépa ( 1ère ou deuxième année ? ) .
en tout cas au programme pour le CAPES !

**mehdi_128** · 22/08/2018, 17h50

Envoyé par albanxiii

Bonjour,

Convergence dans $\text{[math]}$ oui, en considérant $\text{[math]}$ comme sous ensemble.
Convergence dans $\text{[math]}$ : non.
D'ailleurs, $\text{[math]}$ n'est pas complet pour la norme usuelle (valeur absolue).

J'avais pas vu ce message !

Merci c'est plus clair.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 18h01

Dans la démonstration que $\text{[math]}$ est complet, j'ai un petit doute sur un point, je vous mets la démo, j'ai annoté les points qui me gênent si vous pourriez m'éclaircir ?

Dans mon livre l'auteur donne une définition de suite de Cauchy en prenant $\text{[math]}$ mais sur internet je trouve la définition : $\text{[math]}$

Du coup ici je me demande, il se passe quoi si : $\text{[math]}$

complet.jpg

**gg0** · 22/08/2018, 18h02

La notion de convergence dépend évidemment de l'ensemble dans lequel on se place. Que sais-tu d'une suite qui converge dans $\text{[math]}$ ?

Cordialement.

invite51d17075 · 22/08/2018, 19h00

Envoyé par mehdi_128

Dans mon livre l'auteur donne une définition de suite de Cauchy en prenant $\text{[math]}$ mais sur internet je trouve la définition : $\text{[math]}$

ça ne change rien puisque qu'il y a tj "pour tous p,q ".
la formulation peut prendre plusieurs formes mais à la base c'est.
$\text{[math]}$
qu'on peut décliner sous d'autres façons équivalentes.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 19h03

Envoyé par gg0

La notion de convergence dépend évidemment de l'ensemble dans lequel on se place. Que sais-tu d'une suite qui converge dans $\text{[math]}$ ?

Cordialement.

J'ai jamais étudié des suites qui convergent dans IN ... Dans mon cours, ça n'a pas été abordé.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 19h08

Envoyé par ansset

ça ne change rien puisque qu'il y a tj "pour tous p,q ".
la formulation peut prendre plusieurs formes mais à la base c'est.
$\text{[math]}$
qu'on peut décliner sous d'autres façons équivalentes.

Je veux dire du coup si on a : $\text{[math]}$ ça donne : $\text{[math]}$ ce qui n'est pas vrai car on a défini $\text{[math]}$

C'est pour ça que je demande, suivant la définition donnée par l'auteur, s'il faut écarter le cas : $\text{[math]}$
Car il utilise dans la définition de suite de Cauchy avec $\text{[math]}$
Bref, j'ai l'impression qu'il y a une coquille dans la démo que j'ai mise en pièce jointe.
Je pense que les auteurs qui définissent $\text{[math]}$ c'est pour éviter ce cas non ?

invite51d17075 · 22/08/2018, 19h13

Envoyé par mehdi_128

Je veux dire du coup si on a : $\text{[math]}$ ça donne : $\text{[math]}$ ce qui n'est pas vrai car on a défini $\text{[math]}$

heuu ! il faut te reposer là.
0 n'est pas inférieur à un réel positif ?????

**mehdi_128** · 22/08/2018, 19h16

Envoyé par ansset

heuu ! il faut te reposer là.
0 n'est pas inférieur à un réel positif ?????

Ah oui en effet aucun problème : 0 est bien inférieur ou égal à un réel strictement positif.

Vous avez raison, je vais me reposer un peu j'ai un peu trop travaillé ces derniers temps je commence à fatiguer.

invite51d17075 · 22/08/2018, 19h18

reprenons :
la def générale est bien :
…... $\text{[math]}$ etc ….
comme la propriété est évidente si p=q et donc qu'il est inutile de tenir compte de ces cas on peut réduire la def à p diff de q , et dans ce cas l'un est plus grand que l'autre ( ce qu'on peut mentionner si on veut )

invite9dc7b526 · 22/08/2018, 19h25

@Mehdi: si tu en as le temps, je te conseille de lire le livre de Walter Rudin "analyse réelle et complexe". Ce livre expose les concepts de base de la topologie, tout en restant près de l'application à l'analyse. Ca te permettra de prendre un peu de hauteur parce que là j'ai l'impression que tu as la tête dans le guidon comme on dit.

**mehdi_128** · 22/08/2018, 19h35

Envoyé par minushabens

@Mehdi: si tu en as le temps, je te conseille de lire le livre de Walter Rudin "analyse réelle et complexe". Ce livre expose les concepts de base de la topologie, tout en restant près de l'application à l'analyse. Ca te permettra de prendre un peu de hauteur parce que là j'ai l'impression que tu as la tête dans le guidon comme on dit.

C'est de quel niveau ?

Parce que j'en suis encore au programme de MPSI en Analyse et début d'année j'ai revu que : les ensembles, corps des réels, suites et séries de nombres.

invite9dc7b526 · 22/08/2018, 19h36

je ne sais pas ce que c'est que MPSI. Le Rudin on peut le lire en première année de fac, il ne suppose connues que très peu de choses. Il faut être un peu motivé bien sûr.

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