Constante d'Euler

[invite997dc1d9]

BOnjour à tous, un petit exercice qui consiste à montrer l'existence de la constante d'Euler me pose problème :

Pour tout n de N, posons un= somme des 1/k avec k allant de 1 à n.

1- Montrer que un+1 - un équivalent à -1/(2n^2)

Fait en utilisant un DL à l'ordre 2

2- Montrer que la suite (un) converge. Je ne vois pas comment faire en réutilisant la question 1. D'autres moyens sont possibles en posant des fonctions et regardant des intégrales mais aucun n'exploite le résultat obtenu à la question 1. Avez-vous une idée?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Il y a un gros problème dans ton message; tu as écrit
"Pour tout n de N, posons un= somme des 1/k avec k allant de 1 à n."
donc
et ce ne peut être "Pour tout n de N" puisque on termine la somme par 1/n qui interdit à n d'être nul.
"1- Montrer que un+1 - un équivalent à -1/(2n^2)"
Ben ... c'est faux car

puisque dans u_n+1 il y a exactement la somme jusqu'à n, u_n, plus 1/(n+1).

A toi de rectifier cet énoncé, sauf si c'est celui qu'on t'a donné (cas où il n'y a pas d'exercice possible).

Cordialement.

NB : la constante d'Euler a bien à voir avec u_n.

[invite997dc1d9]

Grosse erreur pardon c'est la somme des inverses de 1 à n - ln(n) pour tout n de N non nul.

[gg0]

Je m'en doutais

Pour la question 2, pose , calcule en fonction de v₁ et v_n, puis utilise le fait que cette série converge.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite997dc1d9]

EN fonction de v1 et vn? Comment fait-on? Ce n'est pas plutôt en fonction de u1 et un?

[gg0]

Oui, tu as raison. Désolé.

[invite997dc1d9]

Et la somme va de 1 à n-1 je pense

[invite997dc1d9]

Pour utiliser le critère de comparaison, faut-il montrer que la série (vn) est négative ou la simple équivalence suffit-elle?

[gg0]

Heu ... oui, la somme va jusqu'à n-1 si on veut u_n. Pour le critère de comparaison, une quantité qui est équivalente à -1/n² devient finalement négative, non ?

Cordialement.

[invite997dc1d9]

Merci beaucoup, j'ai bien compris