Une formule pour racine de 2 ?

[andretou]

Bonjour à tous
Je sais que le nombre peut s'écrire comme la somme ou même le produit d'une infinité de termes.
Je souhaiterais savoir s'il en est de même avec le nombre
Merci d'avance pour vos réponses
-----

[pm42]

Oui, tu peux même le faire à partir de pi justement.
.
Et

Sinon, tu en as plein sur le Net : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...re/Rac2Val.htm

[Médiat]

Bonsoir,

Il y a des dizaines de méthodes pour construire les réels (tous) comme limite de certaines suites particulières, chacune de ces méthodes donne une solution pour tous les réels.

[andretou]

Merci pm42 et Médiat !

Il y a des dizaines de méthodes pour construire les réels (tous) comme limite de certaines suites particulières, chacune de ces méthodes donne une solution pour tous les réels.

Avez-vous SVP quelques exemples de noms de ces méthodes de constructions des réels ?
Qu'est-ce qui les différencie fondamentalement les unes des autres ? Y en-a-t-il de plus efficaces que d'autres ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Série de Engel.
Série de Pierce.
Série de Sylvester.
Série Alternée de Sylvester.
Série de Luroth.
Série Alternée de Luroth.
Série de Knopfmacher.
Produit de Cantor.
Produit Alterné de Cantor.

Sans oublier les fractions continues

[invite51d17075]

Bonsoir,

Il y a des dizaines de méthodes pour construire les réels (tous) comme limite de certaines suites particulières, chacune de ces méthodes donne une solution pour tous les réels.

là tu m'épates !
je suppose que tu parles de réels "connus" , c-a-d qui ont au moins une propriété identifiable.
car, on ne connait évidement pas tous les réels.

[Médiat]

Il y a réels et telles suites, donc pas de problèmes : tous les réels.

[invite51d17075]

pas compris l'argument ( l'implication ) mais je vais y réfléchir.

[invite51d17075]

Oki,
mais si je saisi, c'est purement théorique, au sens de :
soit x un réel quelconque , il existe une suite qui converge vers x.
ce qui ne veut pas dire qu'on sait l'écrire si on ignore tout du x en question.

[pm42]

Cela rentre dans la vaste catégorie de "il existe mais on ne sait pas l'exprimer". Un peu comme une base de l'espace vectoriel des fonctions de R dans R par ex non ?

[invite51d17075]

pour en revenir à la question du début, le plus simple ( de mon point de vue ) est de faire le DL de (1+x)^1/2 en zéro avec x=1.
on évite de refaire entrer pi dans la suite.
puisqu'on a que des coeffs rationnels.

[pm42]

on évite de refaire entrer pi dans la suite.

Bien sur mais je trouve qu'il y a une certaine élégance à lier les 2 irrationnels les plus fréquents.

[invite51d17075]

rassures toi, j'aime bien aussi ta méthode !
c'était juste pour éviter une remarque " vous prenez un autre irrationnel" pour en construire un autre.

[invite51d17075]

je rajoute que ta "construction" permet de retrouver un "constructible" à partir d'un "transcendant".
donc, oui, …. élégant.

[invite23cdddab]

mais si je saisi, c'est purement théorique, au sens de :
soit x un réel quelconque , il existe une suite qui converge vers x.
ce qui ne veut pas dire qu'on sait l'écrire si on ignore tout du x en question.

C'est surtout que notre alphabet étant fini, et la longueur des phrases finies, on ne peut définir (individuellement et explicitement) qu'un nombre dénombrable de réels.

[pm42]

c'était juste pour éviter une remarque " vous prenez un autre irrationnel" pour en construire un autre.

C'est pour ça que j'ai donné le lien sur les autres méthodes mais je ne suis pas sur qu'il ait été lu.

[Médiat]

ce qui ne veut pas dire qu'on sait l'écrire si on ignore tout du x en question.

C'est assez raisonnable comme restriction (ne pas savoir décrire ce dont on ignore tout, quoique ce forum semble démontrer le contraire parfois )

[invite51d17075]

en oubliant volontairement la parenthèse que je n'ose commenter , j'apprécie le mot "raisonnable" !

[andretou]

pour en revenir à la question du début, le plus simple ( de mon point de vue ) est de faire le DL de (1+x)^1/2 en zéro avec x=1.
on évite de refaire entrer pi dans la suite.
puisqu'on a que des coeffs rationnels.

Aurais-tu STP la possibilité d'indiquer les premiers termes de cette formule (je ne sais malheureusement pas faire les développements limités) ?

[andretou]

Oui, tu peux même le faire à partir de pi justement.

Est-il ainsi possible de construire tous les nombres irrationnels à partir de ?

[invite51d17075]

Aurais-tu STP la possibilité d'indiquer les premiers termes de cette formule (je ne sais malheureusement pas faire les développements limités) ?

te donner les deux premiers serait peu constructif si tu ne comprends pas le principe.
ici la fonction f(x)=(1+x)^1/2 est indéfiniment dérivable ( sauf en x=-1)
voir ce chapitre :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité
avec ici x₀=0 et x=1.
je suppose que tu sais dériver f(x) ( et à plusieurs reprises bien sur) !?

[invite51d17075]

le premier calcul est donc de calculer f(0), f'(0), f"(0) , et d'en déduire la suite.
le DL étant simplifié car ( comme ici x=1) 1ⁿ=1 pour tout n

[invite51d17075]

Est-il ainsi possible de construire tous les nombres irrationnels à partir de ?

la réponse a été donnée sur la forme et sur le fond.
relis le fil !

[albanxiii]

(je ne sais malheureusement pas faire les développements limités) ?

Vous m'auriez tellement fait plaisir en poursuivant cette phrase par "mais je vais me saisir de l'occasion pour apprendre"...

[Médiat]

Par exemple 0.5 = 0.1121120210201... en base pi

[andretou]

Est-il ainsi possible de construire tous les nombres irrationnels à partir de ?

la réponse a été donnée sur la forme et sur le fond.
relis le fil !

J'avais bien noté que Médiat a écrit : Il y a des dizaines de méthodes pour construire les réels (tous) comme limite de certaines suites particulières,
mais il m'a échappé que l'on pouvait construire tous les irrationnels à partir de ...

S'il est donc possible de construire tout nombre irrationnel à partir de , et si l'on peut construire à partir de , alors il est possible de construire tous les irrationnels et tous les réels à partir de ?

[andretou]

Série de Engel.
Série de Pierce.
Série de Sylvester.
Série Alternée de Sylvester.
Série de Luroth.
Série Alternée de Luroth.
Série de Knopfmacher.
Produit de Cantor.
Produit Alterné de Cantor.

Sans oublier les fractions continues

Et est-ce que l'une de ces séries permet d'obtenir sans faire appel à d'autres nombres irrationnels (dont ), à l'image du nombre e qui bien qu'étant irrationnel, peut s'obtenir uniquement avec des entiers (e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 +...) ?

[invite51d17075]

Et est-ce que l'une de ces séries permet d'obtenir sans faire appel à d'autres nombres irrationnels (dont ), à l'image du nombre e qui bien qu'étant irrationnel, peut s'obtenir uniquement avec des entiers (e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 +...) ?

m'enfin je t'ai donné une série qui donne rac(2) par une simple suite de rationnel. ( le DL plus haut )
tu ne lis pas ou bien le calcul est il si compliqué pour toi ?

[andretou]

m'enfin je t'ai donné une série qui donne rac(2) par une simple suite de rationnel. ( le DL plus haut )
tu ne lis pas ou bien le calcul est il si compliqué pour toi ?

Désolé ! Je croyais que le DL consistait ici à additionner les dérivées successives de la fonction , lesquelles comportent elles aussi la fonction racine carrée...
Aurais-tu STP la possibilité d'indiquer les 3 premiers termes de cette série ?

[invite51d17075]

Désolé ! Je croyais que le DL consistait ici à additionner les dérivées successives de la fonction , lesquelles comportent elles aussi la fonction racine carrée...
Aurais-tu STP la possibilité d'indiquer les 3 premiers termes de cette série ?

non, elles ne comportent pas de rac, car il s'agit des dérivées en x=0 !
et pour le reste, si tu ne sais pas dériver une fonction aussi simple, je t'invite à le faire.
pas par méchanceté, mais si tu poses ce genre de question, il faut au préalable un minimum de bagage en maths, sinon les réponses seront stériles !

sais tu dériver cette fonction ?