limite epsilon-delta

[shaams]

Bonsoir, j'ai un problème avec cette exercice : Soit un réel et une application définie sur intervalle ouvert contenant 0, tel la limite de quand , est ce que les propositions suivantes sont équivalentes à limite de f en 0 :
1) .
La deuxième proposition est longue à écrire en Latex donc commençons par la 1), j'ai répondu que cette proposition est équivalente à la limite de f en 0 car en utilisant le théorème des gendarmes je trouve que f(x)=0, car la limite de la fonction nulle en 0 est nulle. Je suis pas sure de mon raisonnement donc si pouviez vous m'éclairer ? Merci
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[gg0]

Bonjour.

Quelle est ta définition de la limite en a d'une fonction ? Car selon les définitions (l'une utilise f(a), l'autre pas).

Cordialement.

[shaams]

Désolé de répondre aussi tardivement, la définition de la limite d'une fonction en

[shaams]

Désolé de répondre aussi tardivement, la définition de la limite d'une fonction en

, en utilisant la 1) on peut arriver à la limite de f en 0 parce la suite converge vers 0, est ce que c'est exacte ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Avec ta définition, si f est définie en a, on peut prendre x=a, et pour tout on doit avoir , ce qui fait que la limite ne peut être que f(a) (f a une limite en a signifie que f est continue en a).
Or dans ta formule du message #1, tu exclus a=0 de la condition, ce qui fait que la fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut 1 convient (pour le message #1) alors qu'elle n'a pas de limite d'après ta définition.

Une remarque : Dans ta définition, il manque la signification de I. je suppose que c'est un intervalle ouvert dont a est une borne ou bien un intervalle ouvert contenant a, et privé de a ?

Cordialement.

[shaams]

Oui est un intervalle ouvert contenant a, dans notre cas 0, j'ai mis l'image de l'exercice complet en image :

[shaams]

Pour la 6) peut-on dire que qu'il y a équivalence entre les deux propositions, en prenant et on a bien la définition de la limite de f en 0 et qui tend vers 0 ?

[gg0]

Pour la 6, ce que tu écris n'est pas correct; ce n'est qu'une partie de la preuve, dans un sens (la limite nulle a pour conséquence 6); par contre, pour passer de 6 à la limite nulle en 0, il faut une preuve, les 1/n ne sont pas des réels strictement positifs quelconques.

Cordialement.

[shaams]

Je vais utiliser le fait que 1\n est le terme d'une suite convergeant vers 0 donc je peux récupérer le et trouver un donc la limite de f en 0.

[gg0]

Sans une démonstration parfaitement écrite, je ne sais pas ce que tu veux dire. Le "récupérer le " me paraît bizarre, car dans la preuve, tu n'as pas le choix de la valeur de , et ce n'est à priori pas un 1/n. Donc rédige une vraie preuve (au moins pour toi, si tu ne veux pas la produire ici).

Cordialement.

[shaams]

Voici comment je rédige la démonstration : je considère la suite , elle converge vers 0 donc soit pour il existe , en prenant on a donc la définition de la limite de f en 0. Ce raisonnement est-il correcte ?

[gg0]

Tout à fait !
Attention, le ==> n'a rien à faire dans , puisqu'il n'y a pas de proposition complète avant, seulement des quantifications ("il existe un N tel que quel que soit n supérieur à N"). On ne met rien, ce qui sous-entend, en langage courant un "tel que" comme celui que j'ai mis en italique.

Cordialement.

[shaams]

Oui d'accord pour le "==>"effectivement ce n'était pas une proposition. Merci !