Bonjour,
je viens d'être introduit au dual d'un Kev et j'avoue ne pas trop comprendre l'interprétation au niveau des matrices...
Pouvez-vous me dire ce qui est vrai et ce qui est faux?
Déjà, si j'ai bien compris, on peut trouver une base d'une matrice A en travaillant sur les lignes et les colonnes, mais c'est uniquement sur les colonnes qu'on a par isomorphisme une base de l'application linéaire correspondante.
Donc, si on considère l'application linéaire u de R^3 dans R^3 correspondante, on a que les colonnes de A représentent les images des vecteurs d'une base de R^3 selon une base de R^3 (prenons pour les deux la base canonique). Ici le rang vaut 2 donc 2 vecteurs indépendants parmi ces 3 forment une base de Im(A) (et donc à l'isomorphisme près de Im(u)).
La transposée de la matrice représente alors la fonction transposée u* qui va du dual de R^3 au dual de R^3. Donc si on prend les colonnes de cette matrice, en en choisissant 2 qui sont indépendantes, on a des formes linéaires qui forment une base de Im(u*).
Mais les colonnes de la transposée de A sont aussi les lignes de A...donc pour trouver une base de Im(u*) il suffit de regarder les lignes?
Je suppose que c'est faux parce que dans un exercice, on a calculé l'inverse d'une matrice pour lire les formes linéaires qui forment une base du dual...
Qu'en est-il si la matrice n'est pas inversible? Cherche-t-on alors un dual du sev engendré par les colonnes de la matrice? Comment?
Merci d'être le plus explicite possible car je suis assez perdu ^^'
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