Deux polynôme avec même racine mais un irréductible

[invite0731164c]

Bonjour,

Soit une extension de corps.
dans ( est irréductible dans ) et .
et

Il me semble que ce n'est pas possible mais je n'arrive pas à le démontrer proprement. Comment pourrais-je procéder?
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[pm42]

Il me semble que ce n'est pas possible

J'ai un doute mais il est tôt le matin et je déconne peut-être mais prenons R et C comme corps et extension : q = x^2+1, p = (x^2+1) (x^2+1)

[invitedd63ac7a]

On peut étudier le PGCD des deux polynômes qui est dans K[X].

[invitedfbee294]

p divise q car p est irréductible et a une racine commune avec q, donc p a un degré inférieur ou égale à q

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedfbee294]

si tu cherches en plus à montrer que p divise q tu peux raisoner par l'absurbe : si ce n'était pas le cas il y aurait un polynome a sur K[x] dont alpha serait la racine commune et il suffirait de trouver le GCD (a) entre p et q, qui donnerait p = a*b tjrs sur K, et donc p ne serait pas irréductible.

[albanxiii]

Bonjour,

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