Fonction lipschitzienne

**mehdi_128** · 04/10/2018, 14h24

Bonjour,

Montrer que $\text{[math]}$ est lipschitzienne sur $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

Soient $\text{[math]}$

Ainsi : $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est lipschitzienne sur $\text{[math]}$

Maintenant si $\text{[math]}$

On remarque que : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est impaire.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ est 1-lipschitzienne sur $\text{[math]}$

C'est juste ?

**gg0** · 04/10/2018, 14h39

Revois la définition de lipschitzienne sur un ensemble A. Elle parle de "pour tout x et y de A". Tu n'as rien prouvé à propos des x et y de R.

Cordialement.

**mehdi_128** · 04/10/2018, 15h03

Comment ça j'ai rien prouvé ?
Et mon raisonnement, j'ai utilisé la définition exacte du cours.

**pm42** · 04/10/2018, 15h08

Envoyé par mehdi_128

Comment ça j'ai rien prouvé ?

x>0 et y<0 par exemple ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 04/10/2018, 15h13

Envoyé par pm42

x>0 et y<0 par exemple ?

Ah d'accord merci j'avais pas vu ça.

Faut faire 4 cas alors j'en ai fait que 2.

**mehdi_128** · 04/10/2018, 15h17

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Posons $\text{[math]}$

On a : $\text{[math]}$ car on l'a déjà démontré pour $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Posons $\text{[math]}$

On a : $\text{[math]}$ car on l'a déjà démontré pour $\text{[math]}$

Le résultat est démontré

**gg0** · 04/10/2018, 15h55

Toujours non prouvé !!

Tu as déjà démontré pour x' et y tous deux positifs, mais ça ne donne pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$
Quand tu appliques un résultat (ici, ce que tu avais prouvé au départ), tu ne peux l'appliquer que strictement.

Reste encore à démontrer $\text{[math]}$ !!

**mehdi_128** · 04/10/2018, 16h01

AH ouai j'avais pas vu cette nuance !

DU coup dans les 2 cas où x et y sont de signes opposés je trouve : $\text{[math]}$ donc ça marche pas

**mehdi_128** · 04/10/2018, 17h45

Je vois pas comment faire quand x et y sont de signes opposés

**ansset** · 04/10/2018, 18h46

tu peux déjà remarquer que f(x) est du signe de x.
par ailleurs
si x<=0
x <= x/(1-x) <= 0
si x >=0
0 <= x/(1+x) <=x
soit maintenant x>=0 et y <=0
à toi de finir.

**mehdi_128** · 04/10/2018, 20h09

Salut Ansset

Prenons : $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

On multiplie par $\text{[math]}$ qui est négatif donc : $\text{[math]}$

Par ailleurs comme $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Je retrouve votre inégalité : $\text{[math]}$

Prenons : $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

On multiplie par $\text{[math]}$ qui est positif donc : $\text{[math]}$

Par ailleurs comme $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Je retrouve votre inégalité : $\text{[math]}$

Alors : $\text{[math]}$

Finalement : $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ car x-y est un nombre positif !

D'où le résultat.

**JB2017** · 04/10/2018, 22h35

Bjr
@ medhi, Une question comme ça au passage pour t'amuser. Est-ce que f est strictement contractante? Répons ebien sûr avec preuve.

**mehdi_128** · 04/10/2018, 23h38

D'après mon cours, il faut que le réel k de k-lipschitzienne appartienne à $\text{[math]}$ pour qu'elle soit contractante.

Etant donné qu'elle est 1-lipschitzienne, elle n'est pas contractante sur $\text{[math]}$

**JB2017** · 05/10/2018, 08h17

Et bien tu peux très bien avoir une fonction f qui vérifie pour tout x et y dans R |f(x)-f(y)|<=|x-y| et qui pourtant est strictement contractante.
Ta réponse n'est pas valable.

**mehdi_128** · 05/10/2018, 11h53

Supposons qu'il existe $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$

Il faut partir de là ? Vu que je sais pas si c'est vrai ou pas, je sais pas si je peux raisonner par l'absurde.

**ansset** · 05/10/2018, 12h06

Envoyé par mehdi_128

Il faut partir de là ? Vu que je sais pas si c'est vrai ou pas, je sais pas si je peux raisonner par l'absurde.

c'est ce qu'il faut faire ( enfin une voie possible et rapide )
et regarder "ce qu'il se passe" autour de x=0 .

**mehdi_128** · 05/10/2018, 12h34

J'ai exprimé :

$\text{[math]}$ où $\text{[math]}$

SI je prends $\text{[math]}$ j'ai :

$\text{[math]}$

J'ai essayé des valeurs de x mais j'en trouve pas qui donnent une contradiction.

**ansset** · 05/10/2018, 12h39

tu ne vas pas au bout.
f(x) s'exprime clairement si x>=0 par exemple.
de plus tu peux calculer sa dérivée en 0+ (*) , et en déduire qu'un k<1 n'est pas possible au voisinage de 0

(*)et l'exprimer sous sa forme en lim de ...

**mehdi_128** · 05/10/2018, 12h55

Je n'ai pas encore étudié le chapitre dérivation, j'en suis au chapitre continuité donc s'il faut utiliser un théorème de ce chapitre je sais pas faire.

**ansset** · 05/10/2018, 12h59

tu ne sais pas qu'on définie en général la dérivée en $\text{[math]}$ par la
$\text{[math]}$

?????????????????????????????? ????????????????

**mehdi_128** · 05/10/2018, 13h29

Si si ...

Mais je vois pas le rapport avec : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$

Si on a est dans un voisinage a droite de 0 : $\text{[math]}$

Donc : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Mais je vois pas quoi en faire

**ansset** · 05/10/2018, 13h49

je voulais surtout parler de la limite en 0, pas de son calcul. ( j'ai du mal m'exprimer )
d'ailleurs f(0)=0 et pas 1
donc pour x>0
f(x)/x=1/1+x qui est par ailleurs une fct continue et
$\text{[math]}$
par ailleurs
|f(x)-f(0)|<k|x-0| devient, pour x>0
f(x)<kx soit f(x)/x<k

la limite de f(x)/x vaut 1 et on cherche pourtant un k < 1 pour tout x.
facile de voir que ce n'est pas possible par l'absurde.

**JB2017** · 05/10/2018, 14h04

Bonjour
Bien entendu c'est ça. La fonction est 1-lipchitzienne mais rien ne dit que 1 est la plus petite constante de lipchitz.
Il s'avère qu'ici c'est le cas (i.e donc f n'est pas strictement contractante). Et bien sûr, pour le voir c'est uniquement à cause du comportement de f en x=0.

**mehdi_128** · 05/10/2018, 14h11

Envoyé par ansset

je voulais surtout parler de la limite en 0, pas de son calcul. ( j'ai du mal m'exprimer )
d'ailleurs f(0)=0 et pas 1
donc pour x>0
f(x)/x=1/1+x qui est par ailleurs une fct continue et
$\text{[math]}$
par ailleurs
|f(x)-f(0)|<k|x-0| devient, pour x>0
f(x)<kx soit f(x)/x<k

la limite de f(x)/x vaut 1 et on cherche pourtant un k < 1 pour tout x.
facile de voir que ce n'est pas possible par l'absurde.

Ah oui bien vu Ansset !

Encadrement PUIS passage à la limite avec y=0 et relation d'ordre dans la limite.

Je penserai à cette astuce

**mehdi_128** · 05/10/2018, 14h25

Envoyé par JB2017

Bonjour
Bien entendu c'est ça. La fonction est 1-lipchitzienne mais rien ne dit que 1 est la plus petite constante de lipchitz.
Il s'avère qu'ici c'est le cas (i.e donc f n'est pas strictement contractante). Et bien sûr, pour le voir c'est uniquement à cause du comportement de f en x=0.

Je vois la nuance merci

**ansset** · 05/10/2018, 14h53

@mehdi:
ci-joint un résumé de cours d'analyse ( fiches ) qui peuvent peut être être utiles :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonc...le_r%C3%A9elle

azizovsky · 06/10/2018, 11h48

tu suppose que, pour certains $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et pour $\text{[math]}$ , on ait

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

alors : $\text{[math]}$

pour le faire,il faut résoudre l'équation initiale par rapport à x

pour $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ , on'a : $\text{[math]}$

pour $\text{[math]}$ , lorsque $\text{[math]}$ , on'a : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 06/10/2018, 13h56

Azizovsky

J'ai pas compris votre méthode

azizovsky · 06/10/2018, 16h54

on'a $\text{[math]}$ , on pose $\text{[math]}$ ....

le cas par exemple : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

**mehdi_128** · 06/10/2018, 18h18

Je comprends pas pourquoi on pose : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

C'est quoi le rapport avec une fonction contractante ?

Fonction lipschitzienne