Répondre à la discussion
Page 1 sur 2 1 DernièreDernière
Affichage des résultats 1 à 30 sur 31

Fonction lipschitzienne




  1. #1
    mehdi_128

    Fonction lipschitzienne

    Bonjour,

    Montrer que est lipschitzienne sur .



    Soit alors

    Soient

    Ainsi :

    Donc est lipschitzienne sur

    Maintenant si

    On remarque que : donc est impaire.





    Donc est 1-lipschitzienne sur

    C'est juste ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Fonction lipschitzienne

    Revois la définition de lipschitzienne sur un ensemble A. Elle parle de "pour tout x et y de A". Tu n'as rien prouvé à propos des x et y de R.

    Cordialement.

  4. #3
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Comment ça j'ai rien prouvé ?
    Et mon raisonnement, j'ai utilisé la définition exacte du cours.


  5. #4
    pm42

    Re : Fonction lipschitzienne

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Comment ça j'ai rien prouvé ?
    x>0 et y<0 par exemple ?

  6. #5
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    x>0 et y<0 par exemple ?
    Ah d'accord merci j'avais pas vu ça.

    Faut faire 4 cas alors j'en ai fait que 2.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Si et

    Posons

    On a : car on l'a déjà démontré pour

    Si et

    Posons

    On a : car on l'a déjà démontré pour

    Le résultat est démontré

  9. #7
    gg0

    Re : Fonction lipschitzienne

    Toujours non prouvé !!

    Tu as déjà démontré pour x' et y tous deux positifs, mais ça ne donne pas mais
    Quand tu appliques un résultat (ici, ce que tu avais prouvé au départ), tu ne peux l'appliquer que strictement.

    Reste encore à démontrer !!

  10. Publicité
  11. #8
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    AH ouai j'avais pas vu cette nuance !

    DU coup dans les 2 cas où x et y sont de signes opposés je trouve : donc ça marche pas

  12. #9
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Je vois pas comment faire quand x et y sont de signes opposés

  13. #10
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    tu peux déjà remarquer que f(x) est du signe de x.
    par ailleurs
    si x<=0
    x <= x/(1-x) <= 0
    si x >=0
    0 <= x/(1+x) <=x
    soit maintenant x>=0 et y <=0
    à toi de finir.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #11
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Salut Ansset

    Prenons : alors
    donc donc

    On multiplie par qui est négatif donc :

    Par ailleurs comme donc

    Je retrouve votre inégalité :

    Prenons : alors
    donc

    On multiplie par qui est positif donc :

    Par ailleurs comme donc

    Je retrouve votre inégalité :

    Alors :

    Finalement : soit car x-y est un nombre positif !

    D'où le résultat.

  15. #12
    JB2017

    Re : Fonction lipschitzienne

    Bjr
    @ medhi, Une question comme ça au passage pour t'amuser. Est-ce que f est strictement contractante? Répons ebien sûr avec preuve.

  16. #13
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    D'après mon cours, il faut que le réel k de k-lipschitzienne appartienne à pour qu'elle soit contractante.

    Etant donné qu'elle est 1-lipschitzienne, elle n'est pas contractante sur

  17. #14
    JB2017

    Re : Fonction lipschitzienne

    Et bien tu peux très bien avoir une fonction f qui vérifie pour tout x et y dans R |f(x)-f(y)|<=|x-y| et qui pourtant est strictement contractante.
    Ta réponse n'est pas valable.

  18. #15
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Supposons qu'il existe tel que :

    Il faut partir de là ? Vu que je sais pas si c'est vrai ou pas, je sais pas si je peux raisonner par l'absurde.

  19. #16
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Il faut partir de là ? Vu que je sais pas si c'est vrai ou pas, je sais pas si je peux raisonner par l'absurde.
    c'est ce qu'il faut faire ( enfin une voie possible et rapide )
    et regarder "ce qu'il se passe" autour de x=0 .
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  20. #17
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    J'ai exprimé :



    SI je prends j'ai :



    J'ai essayé des valeurs de x mais j'en trouve pas qui donnent une contradiction.

  21. #18
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    tu ne vas pas au bout.
    f(x) s'exprime clairement si x>=0 par exemple.
    de plus tu peux calculer sa dérivée en 0+ (*) , et en déduire qu'un k<1 n'est pas possible au voisinage de 0

    (*)et l'exprimer sous sa forme en lim de ...
    Dernière modification par ansset ; 05/10/2018 à 12h42.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #19
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Je n'ai pas encore étudié le chapitre dérivation, j'en suis au chapitre continuité donc s'il faut utiliser un théorème de ce chapitre je sais pas faire.

  23. #20
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    tu ne sais pas qu'on définie en général la dérivée en par la


    ?????????????????????????????? ????????????????
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  24. #21
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Si si ...

    Mais je vois pas le rapport avec :

    Si on a est dans un voisinage a droite de 0 :

    Donc :

    donc



    Mais je vois pas quoi en faire

  25. #22
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    je voulais surtout parler de la limite en 0, pas de son calcul. ( j'ai du mal m'exprimer )
    d'ailleurs f(0)=0 et pas 1
    donc pour x>0
    f(x)/x=1/1+x qui est par ailleurs une fct continue et

    par ailleurs
    |f(x)-f(0)|<k|x-0| devient, pour x>0
    f(x)<kx soit f(x)/x<k

    la limite de f(x)/x vaut 1 et on cherche pourtant un k < 1 pour tout x.
    facile de voir que ce n'est pas possible par l'absurde.
    Dernière modification par ansset ; 05/10/2018 à 13h53.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #23
    JB2017

    Re : Fonction lipschitzienne

    Bonjour
    Bien entendu c'est ça. La fonction est 1-lipchitzienne mais rien ne dit que 1 est la plus petite constante de lipchitz.
    Il s'avère qu'ici c'est le cas (i.e donc f n'est pas strictement contractante). Et bien sûr, pour le voir c'est uniquement à cause du comportement de f en x=0.

  27. #24
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    je voulais surtout parler de la limite en 0, pas de son calcul. ( j'ai du mal m'exprimer )
    d'ailleurs f(0)=0 et pas 1
    donc pour x>0
    f(x)/x=1/1+x qui est par ailleurs une fct continue et

    par ailleurs
    |f(x)-f(0)|<k|x-0| devient, pour x>0
    f(x)<kx soit f(x)/x<k

    la limite de f(x)/x vaut 1 et on cherche pourtant un k < 1 pour tout x.
    facile de voir que ce n'est pas possible par l'absurde.
    Ah oui bien vu Ansset !

    Encadrement PUIS passage à la limite avec y=0 et relation d'ordre dans la limite.

    Je penserai à cette astuce

  28. #25
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Citation Envoyé par JB2017 Voir le message
    Bonjour
    Bien entendu c'est ça. La fonction est 1-lipchitzienne mais rien ne dit que 1 est la plus petite constante de lipchitz.
    Il s'avère qu'ici c'est le cas (i.e donc f n'est pas strictement contractante). Et bien sûr, pour le voir c'est uniquement à cause du comportement de f en x=0.
    Je vois la nuance merci

  29. #26
    ansset

    Re : Fonction lipschitzienne

    @mehdi:
    ci-joint un résumé de cours d'analyse ( fiches ) qui peuvent peut être être utiles :
    https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonc...le_r%C3%A9elle
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  30. #27
    azizovsky

    Re : Fonction lipschitzienne

    tu suppose que, pour certains et et pour , on ait

    ,

    alors :

    pour le faire,il faut résoudre l'équation initiale par rapport à x

    pour lorsque , on'a :

    pour , lorsque , on'a :

    Dernière modification par azizovsky ; 06/10/2018 à 11h50.

  31. #28
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Azizovsky

    J'ai pas compris votre méthode

  32. #29
    azizovsky

    Re : Fonction lipschitzienne

    on'a , on pose ....

    le cas par exemple :


  33. #30
    mehdi_128

    Re : Fonction lipschitzienne

    Je comprends pas pourquoi on pose : ,

    C'est quoi le rapport avec une fonction contractante ?

Sur le même thème :

Page 1 sur 2 1 DernièreDernière

Discussions similaires

  1. fonction lipschitzienne
    Par wikibaba dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 5
    Dernier message: 21/02/2012, 09h17
  2. fonction tend vers fonction lipschitzienne
    Par hey_kong dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 7
    Dernier message: 29/08/2011, 10h46
  3. Fonction lipschitzienne
    Par Bidou47 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 11
    Dernier message: 10/10/2009, 17h18
  4. Fonction lipschitzienne
    Par Vhopkins dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 4
    Dernier message: 01/02/2009, 12h53
  5. Fonction k-lipschitzienne?
    Par Eogan dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 21
    Dernier message: 04/01/2006, 17h44