Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

[parklee]

salut tout le monde
on doit monter que A n admet pas de borne sup
A=(x appartient Q/ X carré inférieure ou égale a 2 )
montrons que A non vide c est bien 0 appartient à A .
soit X carre inférieur ou égal 4 donc x inférieur à 2 c est a dire A majoré par 2
on suppose A admet une borne sup M dans Q
Et voila je me bloc ici _mon
professeur de math a suggéré de discuter suivant les valeurs de M carre
pour M carre = 2 c est impossible il n y a pas de rationnel dont le carre vaut 2
et pour les deux autres cas ? ainsi pourquoi discut t on SUIVANT LES VALEURS DE M carre et non pas M?
merci d avance
bon jour

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[minushabens]

Puisque tu raisonnes par l'absurde il te faut trouver une contradiction. Si tu poses M=max(A) alors quid de M^2? Tu as vu qu'on ne pouvait pas avoir M^2=2, peut-on avoir M^2>2 ?

[parklee]

oui je comprend
je pense aussi que parce que on parle de sup de A
on doit appliquer les propriétés de A
j ai encore un problème pour la valeur de epsilon

[jeanlouisb]

donc tu dis soit M = sup(A) nécessairement M² < 2[ et tu montres que c'est impossible car il existe un M' > M tel que M'² < 2.
par exemple en exhibant une suite un de rationnels qui converge vers racine(2) et pour n suffisamment grand un va dépasser M.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jeanlouisb]

comme suite de rationnels simple tu peux prendre la suite 1; 1,4; 1,41; 1,414; ect... , la suite des valeurs décimales de racine(2) toutes dans Q et qui converge vers racine(2). Et pour n suffisamment grand un va dépasser M. Si tu pose epsilon = racine(2) - M il suffit je pense de choisir n = E(1/epsilon) + 2 pour dépasser M tout en étant < racine (2).

[ansset]

bjr jeanlouisb,
j'aurai bien pris une direction similaire ( ce qui revient à s'appuyer sur la densité de Q dans R ) mais :

Et voila je me bloc ici _mon professeur de math a suggéré de discuter suivant les valeurs de M carre
pour M carre = 2 c est impossible il n y a pas de rationnel dont le carre vaut 2
et pour les deux autres cas ? ainsi pourquoi discut t on SUIVANT LES VALEURS DE M carre et non pas M?

Donc cela ne semble pas être dans l'attente de son prof, et c'est bien ce qui ennuie parklee.

[ansset]

En poursuivant dans ce sens :
supposons M ( Max rationnel) \ M²<2
posons donc
On cherche k rationnel tel que
et
k doit satisfaire

On utilise ensuite la continuité de la fct x² en 1 et ( en résumant )
on prend

on choisi un n tel que
on pose k=1+1/n et
M' est rationnel avec M' >M et M'²<2

[ansset]

il existe un n plutôt que "on choisi" , c'est plus "joli".

[jeanlouisb]

bonjour ansett;

Oui je pense que tu as raison parce qu'ils n'ont pas vu la construction de R (qui n'est d'ailleurs plus au programme de prépa) et ils ne savent peut être pas que tout réel est la limite d'une suite de rationnels, ni a une écriture décimale unique.

Ta démonstration est certainement ce que son prof attend.