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Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q




  1. #1
    parklee

    Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    salut tout le monde
    on doit monter que A n admet pas de borne sup
    A=(x appartient Q/ X carré inférieure ou égale a 2 )
    montrons que A non vide c est bien 0 appartient à A .
    soit X carre inférieur ou égal 4 donc x inférieur à 2 c est a dire A majoré par 2
    on suppose A admet une borne sup M dans Q
    Et voila je me bloc ici _mon
    professeur de math a suggéré de discuter suivant les valeurs de M carre
    pour M carre = 2 c est impossible il n y a pas de rationnel dont le carre vaut 2
    et pour les deux autres cas ? ainsi pourquoi discut t on SUIVANT LES VALEURS DE M carre et non pas M?
    merci d avance
    bon jour

    -----

    Dernière modification par parklee ; 12/10/2018 à 17h31.

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  3. #2
    minushabens

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    Puisque tu raisonnes par l'absurde il te faut trouver une contradiction. Si tu poses M=max(A) alors quid de M^2? Tu as vu qu'on ne pouvait pas avoir M^2=2, peut-on avoir M^2>2 ?

  4. #3
    parklee

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    oui je comprend
    je pense aussi que parce que on parle de sup de A
    on doit appliquer les propriétés de A
    j ai encore un problème pour la valeur de epsilon


  5. #4
    jeanlouisb

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    donc tu dis soit M = sup(A) nécessairement M² < 2[ et tu montres que c'est impossible car il existe un M' > M tel que M'² < 2.
    par exemple en exhibant une suite un de rationnels qui converge vers racine(2) et pour n suffisamment grand un va dépasser M.

  6. #5
    jeanlouisb

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    comme suite de rationnels simple tu peux prendre la suite 1; 1,4; 1,41; 1,414; ect... , la suite des valeurs décimales de racine(2) toutes dans Q et qui converge vers racine(2). Et pour n suffisamment grand un va dépasser M. Si tu pose epsilon = racine(2) - M il suffit je pense de choisir n = E(1/epsilon) + 2 pour dépasser M tout en étant < racine (2).

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ansset

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    bjr jeanlouisb,
    j'aurai bien pris une direction similaire ( ce qui revient à s'appuyer sur la densité de Q dans R ) mais :
    Et voila je me bloc ici _mon professeur de math a suggéré de discuter suivant les valeurs de M carre
    pour M carre = 2 c est impossible il n y a pas de rationnel dont le carre vaut 2
    et pour les deux autres cas ? ainsi pourquoi discut t on SUIVANT LES VALEURS DE M carre et non pas M?
    Donc cela ne semble pas être dans l'attente de son prof, et c'est bien ce qui ennuie parklee.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #7
    ansset

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    En poursuivant dans ce sens :
    supposons M ( Max rationnel) \ M²<2
    posons donc
    On cherche k rationnel tel que
    et
    k doit satisfaire

    On utilise ensuite la continuité de la fct x² en 1 et ( en résumant )
    on prend

    on choisi un n tel que
    on pose k=1+1/n et
    M' est rationnel avec M' >M et M'²<2
    Dernière modification par ansset ; 13/10/2018 à 14h01.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  11. #8
    ansset

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    il existe un n plutôt que "on choisi" , c'est plus "joli".
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #9
    jeanlouisb

    Re : Montrer que a n'admet pas de borne sup dans q

    bonjour ansett;

    Oui je pense que tu as raison parce qu'ils n'ont pas vu la construction de R (qui n'est d'ailleurs plus au programme de prépa) et ils ne savent peut être pas que tout réel est la limite d'une suite de rationnels, ni a une écriture décimale unique.

    Ta démonstration est certainement ce que son prof attend.

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