Montrer qu'un polynome admet une seule racine dans R

[invitee68598ae]

Bonsoir, je viens de remettre le nez dans un TP de maths et je dois avouer que je suis complétement largué sur ce problème

Il faut montrer que le polynôme: 3x^3-9x²+9x+2 admet une seule racine dans R

Sur ma feuille j'avais marqué les calculs suivant:

9x²-18x+9
9(x²-2x+1)
9(x-1)²

et ensuite j'ai fait un tableau de signe un peu bizarre, en gros:

____x| -infinie 1 + infinie
____9|___+__|____+
___x1|___-__|____+
__x-1|___-__|____+
(9x-1)|___+__|____+

(désolé si mon tableau est pas terrible mais vous voyez un peu près)

La première idée qui m'ait venue lors de la reprise du problème a été d'effectuer une résolution de l'équation à l'aide d'une racine évidente, opération longue et fastidieuse, je n'en ai pas encore fais qui ne renvoyait qu'un résultat en plus
Ensuite j'ai vu la correction que j'avais pris et je me suis rendue compte qu'on utilisait la dérivée du polynôme puis sa factorisation pour aboutir a un résultat qui sert dans un tableau de signe que je ne comprends pas et dont je ne comprends pas l'utilité

Si c'est juste pourriez vous m'expliquer chaque étape (pourquoi on utilise la dérivée, pourquoi on factorise et pourquoi ce tableau de signe...) ?
Si c'est faux pourriez vous m'expliquer la (ou les) démarche(s) ?

Merci !
-----

[invite8a314b22]

Bonsoir
Tu fais la dérivée pour étudier si la fonction croît ou non:
Tu étudies le signe de la dérivée pour celà . Si le signe de f'(x) sur un interval E est positive alors f(x) croît sur E, si a contrario f'(x) est négative sur un interval D alors f(x) décroît sur D.
Ici ta dérivée est toujours positive, c'est pour ca que tu factorises pour remarquer que quelque soit x, f'(x) >= 0 donc f(x) est croissant sur .
Tu étudies la limite en et en si tu trouves que l'une est négative et l'autre positive, et comme tu sais que f est croissante sur alors f(x) coupe forcement l'axe des absices en un seul point donc n'a qu'une racine .

Bon courage .

[invite8a314b22]

c'est un cas particulier du Théorème des valeurs intermédiaires ( TVI) je ne sais pas si tu l'as déjà vu ...

[danyvio]

Voici ma piste avant-réveillon

Si le polynome a une racine réelle r, alors il peut s'écrire (x-r)(ax²+bx+c) ou encore en développant
ax³+(b-ar)x²+(c-br)x-rc
Par assimilation et application de la règle : deux polynomes sont égaux si et seulement si etc...
on doit résoudre le système :
a=3
b-ar=-9
c-br=9
-rc=2
Avec ça, on devrait trouver une équation du second degré sans racine réélle. Je ne suis pas allé plus loin...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee68598ae]

Bonsoir
Tu fais la dérivée pour étudier si la fonction croît ou non:
Tu étudies le signe de la dérivée pour celà . Si le signe de f'(x) sur un interval E est positive alors f(x) croît sur E, si a contrario f'(x) est négative sur un interval D alors f(x) décroît sur D.
Ici ta dérivée est toujours positive, c'est pour ca que tu factorises pour remarquer que quelque soit x, f'(x) >= 0 donc f(x) est croissant sur .
Tu étudies la limite en et en si tu trouves que l'une est négative et l'autre positive, et comme tu sais que f est croissante sur alors f(x) coupe forcement l'axe des absices en un seul point donc n'a qu'une racine .

Bon courage .

Donc si je résume:
1/ Je fais la dérivée de ma fonction
2/J'étudie le signe de la dérivée en faisant un tableau de signe (ici la dérivée est toujours positif, j'en conclus que f(x) est toujours croissante)
3/J'étudie les limites de f(x) et je trouve négatif en et positif en étant donné que la fonction est toujours croissante alors elle ne peut couper l'axe des abscisses qu'en un seul point

Je crois que j'ai compris comment ça fonctionnait, j'avais juste besoin de quelques rappel sur les dérivée , du coup ça pourrait aussi marcher à l'envers: une fonction toujours décroissante qui serait positif en et négatif en ne couperait qu'une seule fois l'axe des abscisse et n'aurait qu'une seule racine

Merci encore !

[invite988db2e8]

Et pourquoi ne pas faire avec le delta ?

DELTA = B² - 4AC

Ici delta = 0
Cela signifie une unique racine ...

ça marche non ?

[invite8a314b22]

une racine mais dans la dérivée et non dans la fonction qu'on étudie