suite de Cauchy

[samara1]

Bonjour,
J'aimerais bien si quelqu'un peut me donner un idée pour résoudre la question suivante.

Soit [x][/n] une suite de Cauchy et [y][/n] une autre suite telle que

d( [y][/n+1],[y][/n]) <= d([x][/n+1],[x][/n])

est ce que [y][/n] est une suite de Cauchy? Si oui comment peut on le prouver.??
(Remarque on peut remplacer la distance d par la valeur absolue pour résoudre le problème dans l'ensemble R)

Merci pour l'aide
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux effectivement prendre des suites réelles, les distances sont de la forme et |y_n+1-y_n|. Comme pour n<p, et que cette somme est la seule qui permet de majorer (avec l'hypothèse) |y_p-y_n|, on pense tout de suite à une suite convergente où les différences successives sont de signes contraires, pour x, et les mêmes valeurs absolues, mais de même signe, qui pourraient rendre la quantité |y_n+1-y_n| "grande".

Je te laisse choisir les suites pour que ça marche.

Cordialement.

PS : Si tu connais déjà les séries, on peut s'y ramener avec du télescopage.

[samara1]

Bonjour, je n'ais pas bien compris ce que vous voulez dire par (on pense tout de suite à une suite convergente où les différences successives sont de signes contraires, pour x, et les mêmes valeurs absolues, mais de même signe, qui pourraient rendre la quantité |yn+1-yn| "grande"). J'ai essayé d'appliquer la majoration que vous avez proposé à ca va être inférieur à c-à- d en finale que et cela ne veut pas dire qu'elle est de Cauchy.

Merci de bien vouloir donner votre avis.

[gg0]

Ben justement, ce que j'explique, c'est qu'on peut se débrouiller pour que la suite des y ne soit pas de Cauchy, à condition d'avoir une suite des x particulière.
Prends par exemple et .
Je te laisse examiner la situation.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Pour construire un contre-exemple, on peut :

 Cliquez pour afficher

regarder ce qui se passe pour les séries convergentes mais pas absolument convergentes

 Cliquez pour afficher

, elle converge, donc elle est de Cauchy
, elle diverge, donc elle n'est pas de Cauchy (puisque R est complet)

Mais

Edit : pénible que le forum n'annonce pas qu'un nouveau message ai été posté entre le temps avant de valider l'envoi... (ça plus l'impossibilité d'éditer après un temps très court...)

[stefjm]

Edit : pénible que le forum n'annonce pas qu'un nouveau message ai été posté entre le temps avant de valider l'envoi... (ça plus l'impossibilité d'éditer après un temps très court...)

On peut le voir en prévisualisant, mais il faut regarder le reste de la discussion.