Calcul de double somme (avec sommes de suites géométriques)

[invite5eadf00c]

Bonjour à tous,

Après de multiples tentatives (téléscopages, changements de variables…), je ne parviens pas à obtenir un résultat pertinent en développant cette double somme :

Pour tout n entier naturel non nul,

∑ (i=1 à i=n) ∑ (k=0 à k=n) [(1-(2^k)) x (2^ik)]


Pouvez-vous m'aider en m'indiquant le procédé à suivre, ainsi que le résultat à obtenir ?


Merci d'avance !
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[inviteb2cc74dc]

Tu peux commencer par remarquer que le terme 1 - 2^k ne dépend pas d i.
Par conséquent, tu peux intervertir les deux sommes (comme ce sont des sommes finies) et mettre le terme 1 - 2^k en facteur de la première somme, que tu pourras alors calculer

[invite5eadf00c]

Merci pour ta réponse !

Je viens d'essayer avec ta méthode mais j'aboutis à un résultat mauvais (d'après un test avec les premières valeurs de n)

J'aboutis à :

(1-2^((n+1)^2))/(2^(n+1)-1)


Quel résultat je suis supposée obtenir ?

[gg0]

Bonjour.

Il faudrait voir tes calculs, mais déjà une remarque la somme sur k peut commencer à 1, puisque pour k=0, 1-(2^k) = 0. Ça simplifie le calcul, des dénominateurs 1-2^k ou 2^k-1 ne sont pas nuls.

Comme ton résultat ressemble assez à ce qu'on attend, il y a sans doute juste un oubli. Montre ton calcul.

Cordialement.

Rappel :

[A voir en vidéo sur Futura]