Polynôme de degré borné, théorème d'Ascoli

[invited1ed38da]

Bonjour,

Dans un exercice d'analyse fonctionnelle, il m'est demandé dans le cadre suivant :

Soit

D'étudier la compacité de l'ensemble des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur à un certain donné, dont la norme est inférieure ou égale à 1.



Je pense qu'il s'agit bien d'un ensemble compact, car c'est un fermé borné de l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à , qui est un espace vectoriel de dimension finie. J'ai perdu pas mal de temps à essayer d'appliquer le théorème d'Ascoli avant d'y penser, néanmoins je suis assez frustré de ne pas avoir réussi à l'appliquer.

Le caractère fermé et ponctuellement relativement compact me semble trivial, mais pour ce qui est de l'uniforme équicontinuité, je coince. Dans ma tête, décider de l'uniforme équicontinuité d'un ensemble de fonction revient exactement à trouver un caractère uniformément lipschitzien, et donc borner les dérivées des fonctions de l'ensemble en question. Mais je n'ai pas l'impression que ça soit possible ici. En effet si je pose

, j'ai l'impression qu'il est possible de faire exploser tout en restant dans l'intervalle image , si je compense en donnant des valeurs grandement négatives aux et donc impossible de trouver une constante de lipschitz "uniforme" pour mon ensemble de fonctions. Donc j'imagine que c'est cette intuition qui est fausse, il faut absolument que je puisse borner le premier coefficient non?

Merci d'avance de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

C'est bien "sup f(x)" ? Car dans ce cas, la suite des -X²-n est dans A et n'a pas de limite. Mais tu parles de norme auparavant.

Cordialement.

[invited1ed38da]

Je suis navré, il s'agit de !

Merci de votre réponse