Groupe et ensemble

**mehdi_128** · 26/10/2018, 05h37

Bonjour,

J'ai des difficultés sur cet exercice. J'ai cherché longtemps avant de demander de l'aide et j'ai réussi à faire une partie.

Soit $x$ un entier premier avec 29. Soit $o(x)$ le plus petit entier tel que : $x^{o(x)} \equiv 1 [29]$ .

On a montré précédemment que : $o(2) = 28$ .

J'essaie de démontrer que : $\{\bar{2}^k \ | k \in [|1,28|] \} = \{\bar{x} \in \mathbb{Z}/29\mathbb{Z}| \bar{x} \ne \bar{0} \}$

J'ai fait : montrons que $\{\bar{2}^k \ | k \in [|1,28|] \} \subset \{\bar{x} \in \mathbb{Z}/29\mathbb{Z}| \bar{x} \ne \bar{0} \}$

Soit $\bar{z} \in \{\bar{2}^k \ | k \in [|1,28|] \}$ alors $\bar{z} = \bar{2} \times .... \times \bar{2} \in \mathbb{Z}/29\mathbb{Z}$ car $(\mathbb{Z}/29\mathbb{Z} - {\bar{0}, \bar{\times})$ est un groupe donc stable car 29 est premier.

Maintenant il faut vérifier que $\bar{2}^k \ne \bar{0}$ C'est trivial car $29$ est premier avec $2$ donc le reste de la division euclidienne d'un multiple de $2$ par $29$ ne donnera jamais $0$ .

Pour la seconde implication je n'ai pas réussi : il faut montrer que :

$\{\bar{x} \in \mathbb{Z}/29\mathbb{Z}| \bar{x} \ne \bar{0} \}= \{\bar{1},...,\bar{28}} \subset \{\bar{2}^k \ | k \in [|1,28|] \}$

Je me dis que calculer tous les $\bar{2}^k$ 28 fois c'est pas la méthode la plus rapide ni la plus élégante, mais je vois pas trop d'autres méthodes.

Merci d'avance

**Amanuensis** · 26/10/2018, 07h57

28 est le plus petit. Supposons que deux entiers différents a et b plus petits ou égaux à 28 soient tels que 2^a = 2^b modulo 29, que peut-on conclure?

**mehdi_128** · 26/10/2018, 12h43

En gros on a montré que l'ensemble des $\bar{2}^k$ est inclus dans l'ensemble des Z/29Z privé de 0 maintenant si on montre qu'ils sont le même nombre d'éléments les ensembles seront forcément égaux et on aura le résultat.

ll faut montrer que : $k \ne l \Rightarrow \bar{2}^a \ne \bar{2}^b$

Par contraposée ça revient à montrer que : $\bar{2}^a = \bar{2}^b \Rightarrow k=l$

Supposons : $a \geq b$ alors on a : $\bar{2}^a = \bar{2}^b$ que l'on peut réécrire :

$\bar{2}^{a-b} \times \bar{2}^b= \bar{2}^b$

Or $2$ est premier avec $29$ donc $\bar{2}$ est inversible dans Z/29Z. On multiplie par l'inverse de $\bar{2}$ dans l'égalité $b$ fois et on obtient :

$\bar{2}^{a-b} = \bar{1}$

Mais on a montré dans une question précédente que l'ordre de $x$ divise tout réel qui vérifie $x^k \equiv 1 [29]$ donc :

$28 / (a-b)$ mais $0 \leq a \leq 28$ et $0 \leq a- b \leq 27$ donc forcément $a=b$

Les $\bar{2}^k$ sont distincts et au nombre de $28$ comme le nombre d'éléments du groupe (Z/29Z-{0},x)

C'est correct ?

**Amanuensis** · 26/10/2018, 14h38

Il y a au moins une faute de détail (pas tout vérifié, par flemme), mais c'est bien la démo que j'avais en tête.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 26/10/2018, 14h52

D'accord merci.

J'ai remarqué une petite faute c'est plutôt : $1 \leq a \leq 28$ mais j'en vois pas d'autre.

Vous pensiez à quelle erreur ?

**Amanuensis** · 26/10/2018, 14h59

J'avais vu celle-là

Envoyé par mehdi_128

$\bar{2}^{a-b} \times \bar{2}^b= \bar{2}^b$

**mehdi_128** · 26/10/2018, 15h04

Je vois pas où est l'erreur dans : $\bar{2}^{a-b} \times \bar{2}^b= \bar{2}^b$

J'ai juste remplacé : $\bar{2}^a = \bar{2}^{a-b} \times \bar{2}^b$

**Amanuensis** · 26/10/2018, 16h27

ok ...

**mehdi_128** · 26/10/2018, 16h40

En fait j'ai inversé 2 b-fois c'est pour ça que j'ai fait apparaître le puissance b. C'est correct non ?

**Amanuensis** · 26/10/2018, 18h22

C'est correct.

J'ai juste été troublé par l'écriture (en lisant trop vite). J'aurais fait intervenir l'entier c positif ou nul tel que a=b+c, en lieu et place de a-b. Bien sûr, c'est la même chose, c'est juste une question de goût j'imagine.

**mehdi_128** · 26/10/2018, 18h24

D'accord merci pour l'aide

Du coup on a bien un groupe cyclique et $\bar{2}$ est générateur de ce groupe.

Groupe et ensemble

Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Re : Groupe et ensemble

Discussions similaires

Action d'un groupe sur un ensemble.

Vulgarisation de l'action d'un groupe sur un ensemble

Action d'un groupe sur un ensemble

Groupe des permutation de l'ensemble des irrationnels

cardinal du groupe des bijections d'un ensemble dénombrable