Groupe et ensemble

[mehdi_128]

Bonjour,

J'ai des difficultés sur cet exercice. J'ai cherché longtemps avant de demander de l'aide et j'ai réussi à faire une partie.

Soit un entier premier avec 29. Soit le plus petit entier tel que : .

On a montré précédemment que : .

J'essaie de démontrer que :

J'ai fait : montrons que

Soit alors car est un groupe donc stable car 29 est premier.

Maintenant il faut vérifier que C'est trivial car est premier avec donc le reste de la division euclidienne d'un multiple de par ne donnera jamais .

Pour la seconde implication je n'ai pas réussi : il faut montrer que :



Je me dis que calculer tous les 28 fois c'est pas la méthode la plus rapide ni la plus élégante, mais je vois pas trop d'autres méthodes.

Merci d'avance
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[Amanuensis]

28 est le plus petit. Supposons que deux entiers différents a et b plus petits ou égaux à 28 soient tels que 2^a = 2^b modulo 29, que peut-on conclure?

[mehdi_128]

En gros on a montré que l'ensemble des est inclus dans l'ensemble des Z/29Z privé de 0 maintenant si on montre qu'ils sont le même nombre d'éléments les ensembles seront forcément égaux et on aura le résultat.

ll faut montrer que :

Par contraposée ça revient à montrer que :

Supposons : alors on a : que l'on peut réécrire :



Or est premier avec donc est inversible dans Z/29Z. On multiplie par l'inverse de dans l'égalité fois et on obtient :



Mais on a montré dans une question précédente que l'ordre de divise tout réel qui vérifie donc :

mais et donc forcément

Les sont distincts et au nombre de comme le nombre d'éléments du groupe (Z/29Z-{0},x)

C'est correct ?

[Amanuensis]

Il y a au moins une faute de détail (pas tout vérifié, par flemme), mais c'est bien la démo que j'avais en tête.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

D'accord merci.

J'ai remarqué une petite faute c'est plutôt : mais j'en vois pas d'autre.

Vous pensiez à quelle erreur ?

[Amanuensis]

J'avais vu celle-là

[mehdi_128]

Je vois pas où est l'erreur dans :

J'ai juste remplacé :

[Amanuensis]

ok ...

[mehdi_128]

En fait j'ai inversé 2 b-fois c'est pour ça que j'ai fait apparaître le puissance b. C'est correct non ?

[Amanuensis]

C'est correct.

J'ai juste été troublé par l'écriture (en lisant trop vite). J'aurais fait intervenir l'entier c positif ou nul tel que a=b+c, en lieu et place de a-b. Bien sûr, c'est la même chose, c'est juste une question de goût j'imagine.

[mehdi_128]

D'accord merci pour l'aide

Du coup on a bien un groupe cyclique et est générateur de ce groupe.