Divisibilité et nombre décimaux infini

[Bartoutatis]

Bonjour,

Voila mon problème : Soit un nombre décimale Ik= 11111.....1 avec un nombre k de 1 est-il divisible par un entier naturel?

Voila ma solution : On remarque que Ik peut s'écrire I_(k-1) + 10^k et que Ik suit une progression géométrique selon k, on cherche Ik=ax^k.

On arrive avec un peu d'algèbre et la première remarque à , x=10 est solution. De part le critère de divisibilité on peut écrire que si Ik= ab alors il est divisible par a et b où a b et sont deux entiers naturels. Or est impossible si a et b sont des entiers naturels.

A posteriori je me dis qu'on peut arriver à cette solution en un coup d'oeil juste par le critère de divisibilité et le fait que Ik soit décimale...

Ma solution est-elle correct ? Si non, pourquoi ?
Merci de ne PAS me donner la solution si la mienne n'est pas correct.
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[Bartoutatis]

Plus précisément la question est peut-on trouver un k tel qu'il soit divisible par 101329 ?

[stefjm]

I4 est divisible par 11

[invite9dc7b526]

Tout entier est divisible par un entier, et même par un nombre premier s'il est plus grand que 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Je ne sais pas si j'ai bien compris ce qui vous préoccupe sur Ik !
Ik=(10^k-1)/9 en utilisant la somme des termes d'une suite géométrique. Malheureusement cela ne prouve rien sur le fait que Ik soit premier ou non. Mis á part les critères de divisibilité par 3 et 11 je ne sais pas quoi dire d'élémentaire sur Ik. Si vous connaissez la programmation, un petit programme de division de Ik par les entiers successifs ou par 101329 pourra vous permettre de faire quelques conjectures la-dessus.

[invitedd63ac7a]

Ah, si, soit Ik, si k est divisible par p est-ce que Ik ne serait pas divisible par Ip.... mais je n'ai pas forcément les yeux en face des trous maintenant, voyez...

[Bartoutatis]

J'ai une autre réponse à apporter à ce problème, j'attend votre avis, (ET PAS LA REPONSE SI LA MIENNE EST FAUSSE SVP),

Prenons donc Ik, on a Ik= , si il est divisible par 101329 alors il doit être divisible par 107 et 947 simultanément, on a ainsi que Ik congru à 0[107] et 0[947], donc : on peut dire que Ik à partir du rang 4 doit être congru à -111[107] et -111[947] du fait que jusqu'au rang 4 il est de toute façon pas divisible par ces nombres. J'en conclut donc et c'est là ma principale incertitude que -111[107] congru ou égal à -111[947] ce qui peut se ramener à la même égalité avec 0 on parle alors de divisibilité or ce n'est pas toujours vrais, 947 en est un contre exemple, par conséquent il n'existe pas de Ik solution.

[Bartoutatis]

Je me permet de me répondre, c'est faux, mais cela veut-il dire que la sommes a partir du 4 eme terme doit être elle aussi divisible par 107 et 947 ?

[Bartoutatis]

Non, ça montre juste la propriété précédente dont elle est déduit