petit problème de géométrie

[maatty]

Bonjour à tous,
dans la correction d'un exercice, je suis tombé sur l'inégalité suivante qui me parait simple mais que je n'arrive pas à établir.
On se place dans le plan et on considère un point z sur le cercle unité puis un point sur ce cercle et dans la boule de centre z et de rayon 1 (pour la distance usuelle sur ) on appelle l'angle correspondant à z et l'unique angle correspondant à appartenant à l'intervalle . L'inégalité donnée est:
d(z,). (là encore, d est la distance usuelle)

Je n'ai pas de mal à établir la relation d'égalité entre la corde et la longueur de l'arc mais cette inégalité me pose problème alors que je suis sûr que ce n'est qu'un point d détail qui m'échappe. Si l'un de vous a une piste elle serait la bienvenue.

Merci encore
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[gg0]

Bonjour.

Ce problème n'est-il pas plus explicite en utilisant les plan complexe ? On a deux complexes de module 1 et de distance inférieure à 1 et on utilise des arguments.

Mais peut-être as-tu retraduit en "géométrique" un problème de complexes ?

Cordialement.

[maatty]

Bonjour,
je vous remercie, je vais essayer par les complexes mais en l'occurrence non, ce n'est pas un exercice sur les complexes mais un exercice de topologie dans où l'on cherche à montrer la continuité d'une application via la propriété sur la convergence des suites; le reste ne m'a pas posé de problème mais on établit cette inégalité pour la démontrer.

[Resartus]

Bonjour,
La distance entre deux points du cercle unité vaut 2sin(|a-b|/2). Comme cette fonction est concave entre 0 et Pi, elle est au dessus de la droite y=k|a-b| qui la coupe au point (pi, 2) c'est à dire k=2/pi
Dans le cas cité, on peut même faire mieux : puisque |a-an|<=pi/2 on peut utiliser le point (pi/2, racine(2)) soit k =2racine(2)/pi

[A voir en vidéo sur Futura]

[maatty]

Merci pour cette proposition de démonstration; j'ai trouvé une autre "majoration" qui fait l'affaire pour la suite mais c'est intéressant et j'avoue ne pas avoir pensé à la convexité donc merci encore