Equation différentielle du second degré

[invite50bea2d7]

Bonjour au forum !

Voici une équation différentielle du second degré.


Sa solution est la suivante :

avec et constantes

Je n'ai pas la moindre idée de comment l'on démontre ce résultat.
Quelqu'un ici sait-il le démontrer pas à pas ?
-----

[ansset]

bjr,
pour la solution de terme général ( avec second terme nul )
comme les coefficients sont constants, on regarde les racines du polynôme associé
( qu'on nomme équation caractéristique )
les deux racines sont 5 et -3
donc la solution sans second membre est bien
pour la solution particulière, le plus simple ici est de poser (*)
( C1=C2=0 et avec P polynôme du même degré que celui du second membre )
Ce qui revient à résoudre

par identification on retrouve les coeff du polynôme associé P(x) et donc Sp(x).
d'où la solution générale.

(*) car le second membre est un polynôme simple.

[gg0]

Heu ... Voyage200,

est-ce que tu sais ce qu'est une dérivée ? Si oui, ce qu'est la fonction exponentielle ? Si oui, ce qu'est une équation différentielle ?
Car si tu sais tout ça, tu peux vérifier que c'est bien une solution. Dans ce cas, il reste trois questions :
* Y a-t-il d'autres solutions ?
* Connaît-on une méthode générale de résolution ?
* Si oui, comment a-t-on trouvé cela ?

Ansset n'a traité que la dernière question.

NB : C'est du cours de niveau bac+1 scientifique ou technique.

[invite50bea2d7]

gg0,
Je possède ma représentation mentale de ce qu'est une dérivée.
En ce qui concerne la fonction exponentielle, je vois cela comme une fonction qui grandit de plus en plus vite.
Par contre, j'ai du mal à concevoir ce qu'est une équation différentielle : est-ce une équation faisant intervenir une dérivée et une dérivée seconde ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Une équation différentielle fait intervenir une fonction et ses dérivées ( jusqu'à la dérivée d'ordre n ), et de manières très variées.
ainsi
-Elle peut être linéaire si la fonction et ses dérivées ne sont pas élevées à une puissance.
par exemple :
y²+y'=0 est une equa diff non lineaire
-elle peut être à coefficient constants ou pas
y"-2y'-15y=0 est à coeffs constants
y"-2y'-15g(x)y=0 n'est pas à coeff constants. ( un ou plusieurs coeffs sont fonctions de x )
-elle peut avoir un second membre ( ou pas )
y"-2y'-15y=0 est sans second membre
y"-2y'-15y=g(x) est avec second membre.
-elle ne se limite pas forcement aux dérivées 1ère ou seconde..
.....
dans les pires des cas, on peut avoir une équation non-linéaire d'ordre n , à coefficients non constants, et avec second membre.
elle ne sont donc pas toutes ré-solvables analytiquement.

ps : dans (...) on peut citer des produits de dérivées dans l'équation comme yy' ou yy" ....

[gg0]

Voyage200,

"une représentation mentale" n'est pas une connaissance. Il est possible d'étudier sérieusement ces notions mathématiques de base; maintenant qu'il y a Internet, on trouve des cours de tous niveaux. Il faut seulement la volonté de le faire; ne pas se contenter d'avoir "une représentation mentale".
Donc encore une fois, tu veux des explications que tu es incapable de comprendre. Moi, j'arrête là.

[gg0]

Ansset,

tu perds ton temps. Vois les autres messages de Voyage200.

Cordialement.

NB : Il y a une définition élémentaire de "équation différentielle" : Équation dont l'inconnue est une fonction apparaissant par une ou plusieurs de ses dérivées.

[ansset]

@voyage:
je ne sais dans quel cadre tu t'intéresses à ce sujet, car tu sembles avoir passé l'âge d'être étudiant.
dans tous les cas , s'attaquer aux équas diff sans bien maitriser les dérivées et les primitives est peine perdue.
les maths, c'est par étapes !

[jacknicklaus]

@voyage200:
tout d'abord, félicitations pou t'intéresser aux mathématiques. On ne peux que t'encourager à travailler pour (re?)découvrir cette discipline merveilleuse.

Cependant, tu poses des questions assez pointues, sans posséder les bases pour comprendre les réponses. un peu comme si tu demandais comment fonctionne un télé, que l'on te donne un schéma complet des composants électroniques utilisés, et que tu répondes "j'ai une image mentale de ce qu'est l'électricité"...

Donc, comme déjà proposé ci-dessus, i faut que tu élèves ton niveau petit à petit, en profitant des ressources d'internet et des forums comme celui ci. mais vas y petit à petit. (re?)Commencer les maths par les cardinaux inaccessibles ou les équations différentielles, c'est le meilleur moyen de te dégoûter rapidement.

[invite50bea2d7]

Okay jacknicklaus !

Je vais essayer de redécouvrir (en effet !) les mathématiques grâce à des notions moins complexes.