Yo les kheys je veux construire la bijection de N dans N², donc j'utilise le principe de cantor ou je numérote les éléments des diagonales descendantes mais j'ai du mal à mettre en page tout ça.
J'ai l'idée mais la rédaction me manque.
Faut il que je trouve une formule explicite de cette application puis vérifier l'injectivité et la surjectivité ?
J'ai du mal à démarrer
?????????????????Envoyé par ssjb007
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
Une formule explicite c'est mieux:
réalise une bijection de
Avoir quelque chose d'explicite c'est effectivement mieux, mais si on comprend simplement ce qui se passe, c'est encore mieux ! Une construction possible est la suivante :
Numérotons les nombres premiers
Je triche un peu, c'est une bijection
L'idée de la construction vient du fait que
fait cette identification naturellement. En mettant tout ça ensemble, on obtient la bijection mentionnée tout au début.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pourrais-tu décrire plus précisément ce que tu as en tête ? Parler de Cantor et de diagonales me fait penser à l'argument diagonal de Cantor permettant de montrer que l'ensemble des réels est indénombrable, mais pour le coup ça n'a rien à voir...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Seirios,
l'idée classique est de numéroter à la suite les (a,b) avec a+b=n; je suppose que c'est ce que veut dire Ssjb007 avec ses "diagonales descendantes". Ensuite, on fait croître n, pour avoir tous les couples.
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 21/11/2018 à 12h09.
Ssjb007,
si tu veux aller plus loin dans ton idée, il faut que tu nous dises ce que tu as fait (combien de nombres dans chaque "diagonale" ? pour un couple (a,b), dans quelle diagonale est-il et à quelle place ? ...).
Cordialement.
Bonjour
La formule donnée au message 3 est le "polynôme de Cantor", c'est d'ailleurs la seule solution polynomiale de degré 2 (aux symétries près)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour,
@Seiros : il a été démontré que le polynome de Cantor est le seul possible (à la permutation près des deux variables) pour une bijection. La démonstration était apparemment très compliquée, mais elle implique que ton approche par les facteurs premiers aura tôt ou tard des trous dans le recouvrement
Bien sûr, si on renonce à une formule explicite, il y aura des infinités d'autre solutions...
Et la formule qu'a indiquée JB2017 est la mathématisation de la "diagonale" de Cantor : l'intervalle entre les deux produits n(n+1)/2 et (n+1)(n+2)/2 est exactement égal à n+1, ce qui laisse tout juste la place pour caser sans trou toutes les possibilités p+q=n (p variant entre 0 et n)
Dernière modification par Resartus ; 21/11/2018 à 12h40.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
et on sait qu'il n'en existe pas de degré 3 ou 4
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonjour
J'avais pas vu la réponse de Resartus mais je donne la mienne même si c'est redondant
Rebonjour
Je ne vois pas en quoi la grosse artillerie pour tuer une mouche permet de comprendre ce qu'il se passe. (du moins c'est mon point de vue)
La bijection de Nx N avec N vient simplement du fait qu'on peut numéroter par les entiers naturels.
Pour voir ce qu'il se passe on a que faire des nombres premiers et tutti quanti.
Pour voir (au sens le plus concret du terme) ce qu'il se passe il suffit de prendre un cahier d'écolier et représenter les NxN par des points. Ensuite je les numérote en suivant les "droites" d'équation p+q=s, s=0,1,....,
q=0,....,s. (C'est la remarque de GG0)
Ce qui donne la formule que j'ai donnée.
Re,
Mes souvenirs m'ont trahi : Wikipédia donne l'historique de la démonstration https://en.wikipedia.org/wiki/Fueter–Pólya_theorem
et apparemment, l'unicité n'est démontrée que pour des polynômes.
Donc la méthode de seiros doit pouvoir donner d'autres solutions non polynomiales (mais je n'ai pas le courage de le vérifier)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
de degré 2 (1923), 3 ou 4 (2001), au dessus, on ne sait pas
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Il n'y a aucune grosse artillerie. Dans la deuxième partie de mon message, j'explique pourquoi l'application est naturelle, mais sinon tout est élémentaire. Je reprends mon application
L'application
Ce qui m'a gêné dans ton message c'est que tu parachutes une formule. Je n'avais pas fait attention à l'interprétation qu'il y a derrière. Du coup, effectivement, c'est une formule tout ce qu'il y a de plus naturelle. Par contre, vérifier formellement qu'elle fonctionne (je veux dire, d'une autre manière que simplement dire "ça se voit par construction") doit quand même demander quelques lignes.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Le passage de "ça se voit par construction" au formel n'est pas si compliqué (peu de lignes)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Rebonjour
Serios oui peut être que c'est la façon dont tu avais présenté ta solution qui m'avait fait penser que c'était un peu compliqué.
Effectivement je suis d'accord avec toi que ta fonction \phi est évidemment bijective.
