Séries entière et séries de Taylor

[invitee3037389]

Bonjour,

J'étudie cette semaine en analyse les développements limités et les séries entières. Je me pose quelques questions de dénominations

1) Une série de MacLaurin est-elle bien une série entière avec a = 0 ?
2) Une série de Taylor est-elle une série entière particulière ? C'est-à-dire une série entière qu'on trouve avec la formule de Taylor ? Je ne comprends pas très bien la différence...

Merci d'avance

Endewooman
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[gg0]

Bonjour.

1) Les développements limités de Mac Laurin sont des cas particuliers de développement de Taylor. Cela s'étend évidement aux séries lorsque la fonction est infiniment dérivable.
2) Soit f une fonction infiniment dérivable au voisinage de a. Sa série de Taylor en a est une série entière (n'est-ce pas évident ?) définie sur un certain domaine (éventuellement réduit à {a}). Sur ce domaine de convergence, cette série peut coïncider, ou non, avec f. Voir le cas des fonctions exp, sin, cos, en 0; voir aussi la fonction de Schwartz f définie par f(x)=0 pour x 0 et, pour x>0 :

dont la série de Taylor en 0 ne coïncide avec f que pour x0.

Cordialement.