fonction holomorphe, zéros et pôles

[invite270c37bc]

Bonsoir,

il y a un élément d'analyse complexe sur lequel j'ai des difficultés à m'exprimer clairement. Il s'agit des zéros et des pôles d'une fonction holomorphe f, qu'on définira ici sur un ouvert Omega. On définit une boule dans Omega ( B_r (z_0) avec z_0 dans Omega ) et : on écrit aussi






Ma définition initiale de pôle est la suivante :
il existe un terme dans la partie singulière de la série de Laurent différent de 0 et les suivants nuls.

Et celle de zéros :
jusqu'à une certaine dérivée (k) , et la dérivée suivante (k+1) est non nulle.




ma question est la suivante:

est ce qu'il est possible de définir de façon équivalente pôle et zéro par :

1)

en prenant k entier positif dans le cas d'un pole et négatif pour un zéro? (et bien sûr minimal / maximal, que pour le k suivant cela ne fonctionne pas)

2)
est ce qu'il ne serait pas plus "propre", de passer par une fonction intermédiaire (en gardant les notations de tout à l'heure) :


où g est une fonction holomorphe sur l'ouvert.



3)
Enfin, on pourrait aussi imaginer une définition où l'on inverse la fonction dans un voisinage : si on regarde la multiplicité du zéros de f, cela reviendrait à compter l'ordre du pôle de g (en définissant sur la même boule f = 1/g, épointée) au même point. Et vice versa pour l'ordre des pôles.


Voila donc si vous pouviez juger ces 4 définitions de ces deux notions très proches, je vous en serai reconnaissant.

En effet, je devais prouver que si une fonction a sa dérivée non nul sur une boule, alors la fonction admet des zéros d'ordre au plus 1. J'ai su le montrer en passant par les séries de Laurent mais étant donnée que ce n'est pas la définition que j'ai de zéros, je ne savais pas si cela était juste.


Je vous remercie beaucoup pour vos éclaircissements et vous souhaite une agréable fin de weekend.
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[invitedd63ac7a]

Il s'agit des zéros et des pôles d'une fonction holomorphe f, qu'on définira ici sur un ouvert Omega.

On parlera plutôt dans ce cas d'une fonction méromorphe.

Ma définition initiale de pôle est la suivante :
il existe un terme dans la partie singulière de la série de Laurent différent de 0 et les suivants nuls.

Non, il faudrait dire il existe au moins car, il peut y avoir des termes de la forme a_k/(x-a)^k, 1<=k<=K, si a est un pôle d'ordre K.

Disons qu'on définit la notion de fonctions méromorphe à partir de celle de pôle. (W.Rudin, Analyse réelle et complexe, p 204) : si f est holomorphe sauf en a 3 cas peuvent se produire:
f admet une singularité apparente/artificielle en a
f admet un pôle en a (voir Rudin pour les détails)
f admet une singularité essentielle en a.

1) oui

2) Je pense que cette définition n'est pas correcte. à cause des fonctions qui admettent une singularité apparente ou artificielle comme sin(z)/z.

3) Je pense qu'il n'y a pas de problème si tu considères l'ensemble des fonctions méromorphes sur U ouvert connexe, puisque dans ce cas on sait que cet ensemble a une structure de corps. Mais dans ce cas cela se mort la queue puisque si on a une fonction méromorphe on a des pôles ou des zéros.

A confirmer (ou infirmer...) avec d'autres avis sur ces questions...