Intégrale de 1/x

[Mailou75]

Bonsoir,

A ce que j’ai compris l’intégrale de 0 a x de la fonction 1/x pourrait être finie. Pourtant l’axe y et la courbe ne se rejoignent jamais, la surface n’est pas fermée, comment peut elle avoir une valeur finie ?

Merci
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Euh... non, pas de valeur finie pour .

Vous avez peut-être entendu parler des distributions et de , qui est un cas particulier de la valeur principale de Cauchy (https://fr.wikipedia.org/wiki/Valeur...pale_de_Cauchy) ?

[gg0]

Par contre,

l'intégrale de 0 à 1 de est bien finie (*) alors que la situation est la même ! C'est qu'il ne faut pas croire que dès qu'on a une infinité, tout est infini. De la même façon, une somme infinie de termes positifs (**) peut très bien être finie, et même petite, comme qui vaut 2.

Cordialement.

(*) définie comme la limite quand e, strictement positif, tend vers 0, de l'intégrale de e à 1.
(**) définie comme la limite quand n tend vers l'infinie de la somme des n premiers termes.

[stefjm]

A ce que j’ai compris l’intégrale de 0 a x de la fonction 1/x pourrait être finie. Pourtant l’axe y et la courbe ne se rejoignent jamais, la surface n’est pas fermée, comment peut elle avoir une valeur finie ?

Salut,
Je crois que tu parles de la trompette de Torricelli ou de Gabriel.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel
http://www.mathcurve.com/surfaces/tr.../gabriel.shtml

Longueur infinie (pas possible de la parcourir), surface infinie (pas possible de la peindre), mais volume fini (on peut la remplir!).

On en avait causé ici : https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post2316532

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Salut,
Je crois que tu parles de la trompette de Torricelli ou de Gabriel.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trompette_de_Gabriel
http://www.mathcurve.com/surfaces/tr.../gabriel.shtml

Longueur infinie (pas possible de la parcourir), surface infinie (pas possible de la peindre), mais volume fini (on peut la remplir!).

On en avait causé ici : https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post2316532

il y a une chose (c'est pas la seule...) qui me sidère avec cette trompette, c'est que si on la découpe en tranches infiniment fines perpendiculaires à son axe, chaque tranche possède une surface finie et on conçoit bien qu'en intégrant le long de l'axe il est possible de trouver un volume fini (du même genre que la somme 1+1/2+1/4+1/8+etc de gg0 converge vers un nombre fini), mais que si on la découpe en tranches parallèles à l'axe et entre elles, il y a une tranche de surface infinie (celle qui contient l'axe) et il est perturbant de se dire qu'en intégrant le volume peut quand même être fini. Pire si on considère des "parts" de trompettes (on découpe parallèlement à l'axe, mais de façon à ce que toutes les découpes passent par l'axe) infiniment fines, elles ont toutes une surface infinie mais l'intégration donne un volume fini...

C'est une bonne leçon pour apprendre à se méfier de son intuition.

m@ch3

[gg0]

Il faut bien voir que ces intégrales généralisées (et intégrales de Lebesgue ou autre sur R) ne correspondent plus à l'intuition des aires et volumes de la vie courante. Il s'agit de constructions intellectuelles, efficaces certes, mais loin du concret.

Cordialement.

[Mailou75]

Bonsoir et merci pour vos réponses,

Par contre, l'intégrale de 0 à 1 de est bien finie (*) alors que la situation est la même ! C'est qu'il ne faut pas croire que dès qu'on a une infinité, tout est infini.

Oui c’est plus un truc dans le genre, ça répond déjà à ma curiosité...
Plus précisément l’intégrale de A à x de f(x)=1/racine(1-(A/x))
(il s’agit de la valeur du redshift gravitationnel pour ne rien vous cacher, si A est le rayon de Schwarzschild, une trompette avec un embout plus large et très evasée )
Cette valeur est elle finie aussi ?

Merci

PS : coucou mach3, tu imagines pourquoi je fais ce calcul

[mach3]

Plus précisément l’intégrale de A à x de f(x)=1/racine(1-(A/x))
(il s’agit de la valeur du redshift gravitationnel pour ne rien vous cacher, si A est le rayon de Schwarzschild, une trompette avec un embout plus large et très evasée )
Cette valeur est elle finie aussi ?

faut demander à wolfram alpha pour trouver les primitives (je l'ai fait tout à l'heure pour cette fonction justement, quelle coïncidence mais je ne sais plus ce que j'ai eu, juste que c'était un peu moche).

m@ch3

[invite51d17075]

et wolfram semble toujours donner un résultat du type
avec
et P(x) polynome de degré 2 ou 3
donc finie mais divergente avec x

[gg0]

Mailou75 :

"Plus précisément l’intégrale de A à x de f(x)=1/racine(1-(A/x))" ??
Si tu ne précises pas correctement les choses, difficile de répondre sainement. D'ailleurs la même lettre x sert à deux usages différents. Donc tu veux parler de " l’intégrale de A à b de f(x)=1/racine(1-(A/x))" où b est une valeur possible de x, avec b>A ? Dans ce cas on a effectivement une valeur finie :


Cordialement.

[Mailou75]

Salut et merci,

J’ai precisé dans un second temps, mais la question de principe etait interessante : ce qui est faux pour 1/x est vrai pour 1/rac(x) (pas evident a priori...)

Interessante cette dernière formule mais qu’est ce que «a» ? je dois le remplacer par «A» ? (ca m’arrangerait...)

Merci à vous

[gg0]

Il y a une faute de frappe (le a, et une erreur de recopie (il manque un b). La bonne formule est




Cordialement.

[gg0]

Décidément, je remplace une erreur par une autre :




Cordialement.

[invite51d17075]

J’ai precisé dans un second temps, mais la question de principe etait interessante : ce qui est faux pour 1/x est vrai pour 1/rac(x) (pas evident a priori...)

ben si quand même car ( à une cte prêt ) la primitive de 1/x est ln(x) qui diverge en 0
alors que celle de est qui ne diverge pas.

[invite51d17075]

gg0:
bizarre, le résultat de ton intégrale ne semble pas correspondre aux "simus" wolfram que j'ai faites.
je cherche ma boulette !

[invite51d17075]

même en changeant mon x² par rac(x)( ca c'était une boulette ) , voici le résultat wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?...rom+x%3DA+to+y

[gg0]

C'est normal, tu as changé l'écriture de la fonction (les logiciels de calcul formel y sont sensibles). Maple, que j'ai utilisé, trouve aussi un résultat différent (que j'ai ensuite simplifié).
Ce qui m'a surpris, c'est que wolfram, même en utilisant sqrt à la place de la puissance 1/2 n'arrive pas à faire ce calcul. Que maple fait sans problème en quelques centièmes de seconde ("Standard computation time exceeded..." pour Wolfram !!).

Cordialement.

[invite51d17075]

merci pour l'explication.( élément à retenir )
mais wolfram ne comprenait pas l'écriture de base !!
cordialement.

[stefjm]

ben si quand même car ( à une cte prêt ) la primitive de 1/x est ln(x) qui diverge en 0
alors que celle de est qui ne diverge pas.

Le fait qu'il faut une fonction spéciale pour une primitive de dans le cas rationnel n'est pas si évident que cela.
Pour toutes les autres valeurs de , on a .
L'apparition d'un pôle en -1 montre le cas limite où une intégration n'augmente plus le degré d'un polynôme, puisque déjà de degré infini. La formalisation de ces fonctions par des séries entières donne la clef exponentielle-logarithme solution de l'équation différentielle y'=y, qui n'a bien évidement pas de solution si y est un polynôme.

Je dirais que l'exponentielle-logarithme est une extension des polynômes via les séries entières, comme les réels sont une extension des rationnels par les suites.

C'est marrant de voir que l'ajout de nouveaux concepts en mathématiques passe souvent par ce pôle en -1.

[stefjm]

merci pour l'explication.( élément à retenir )
mais wolfram ne comprenait pas l'écriture de base !!
cordialement.

Il donne les primitives: https://www.wolframalpha.com/input/?...rom+x%3Da+to+b

[invite51d17075]

ça n'a pas fonctionné pour moi !??
aucune réponse.

[gg0]

Une grosse faiblesse de Wolfram, alors que mon vieux Maple V release 4 sait faire

[pm42]

Une grosse faiblesse de Wolfram, alors que mon vieux Maple V release 4 sait faire

Mathematica sait faire aussi donc c’est peut-être réservé à WolframAlpha version payante ?

[invite51d17075]

Mathematica sait faire aussi donc c’est peut-être réservé à WolframAlpha version payante ?

fort probable !

[Mailou75]

Salut,

Décidément, je remplace une erreur par une autre :

Ok super, merci. Ce n’est pas du tout la formule que j’avais mais je vais tester (la tienne est plus simple si elle marche).
Si ça ne marche pas je repasserai pour reclamation

[stefjm]

ça n'a pas fonctionné pour moi !??
aucune réponse.

Même pas les primitives?
C'est curieux car j'ai retesté le lien alpha que j'ai mis et il donne bien les primitives.
Pour l'étude de la fonction : https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt(1-x%2FA)

[jacknicklaus]

Même pas les primitives?
C'est curieux car j'ai retesté le lien alpha que j'ai mis et il donne bien les primitives.
Pour l'étude de la fonction : https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt(1-x%2FA)

attention ce n'est pas la même fonction.
dans ce fil on parle de : https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fsqrt(1-A%2Fx)

[invite23cdddab]

Dans les deux cas, Wolfram me donne la primitive

[Mailou75]

Salut,

Décidément, je remplace une erreur par une autre :




Cordialement.

Ca ne donne pas les résultats attendus... je ne dis pas que ta formule est fausse mais je suis perplexe

[invite51d17075]

Dans les deux cas, Wolfram me donne la primitive

la version que j'utilise, accessible gratuitement par internet ne me donne que ces résultats là , ou aucun résultat selon la formulation.
il me propose d'ailleurs la version payante pour obtenir qcq chose quand il ne me donne rien.