Groupe et ensemble

[Gamma1902]

Bonjour à tous,
Je dois faire un exercice sur les groupes et les ensembles mais je ne comprend vraiment pas comment il faut faire (le prof a même écrit "exercice plutôt abstrait...")
Pouvez vous m'aider à le résoudre s'il vous plaît ? Voici l'énoncé:
Soit G' un ensemble stable pour une loi *
Soit G ⊂ G' tel que (G,*) est un groupe d'élément neutre noté e
Soit a Є G'∩ G(barre) tel que a^-1 existe (l'élément symétrique de a pour *)
Montrer que l'ensemble {a^-1*x*a/x Є G} est un groupe pour la loi *
Merci pour vos futures réponses.
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[TesiI]

Il s'agit simplement d'appliquer la définition d'un groupe.
On va appeler H l'ensemble {a^-1 * x * a, /x Є G }.

(H, *) est un groupe si et seulement si on a les 4 propriétés :

1) Stabilité : Si je prends y1 et y2 dans H, est-ce que y1 * y2 est encore dans H?

2) Existence d'un élément neutre : Peut-on trouver e Є H tel que pour tout y dans H, e * y = y * e = y ?

3) Associativité : Si y1, y2 et y3 sont dans H, est-ce qu'on a (y1 * y2) * y3 = y1 * (y2 * y3) ?

4) Inversibilité : Si on a un élément neutre e, peut-on trouver pour tout y dans H, un élément y' dans H tel que y * y' = y' * y = e? (on notera alors plus commodément y' = y^-1.

Tu sais ce que tu as à prouver, je te fais la stabilité pour t'aider à démarrer :
Soit y1 et y2 des éléments de H.
Je veux prouver que y1 * y2 est encore dans H.
D'après la définition de l'ensemble H, il existe x1 Є G et x2 Є G tels que y1 = a^-1 * x1 * a et y2 = a^-1 * x2 * a.
Alors, y1 * y2 = a^-1 * x1 * a * a^-1 * x2 * a = a^ - 1 * x1 * x2 * a. Alors, si je pose X = x1 * x2, comme G est un groupe, on a X Є G et y1 * y2 = a^-1 * X * a.

On voit donc que y1 * y2 s'écrit a^-1 * X * a avec X Є G, ce qui correspond exactement à dire que y1 * y2 est un élément de H.
On a donc bien la stabilité.

Je te laisse continuer pour la suite, bon travail !

[Médiat]

On a donc bien la stabilité.

Euh … non ! D'ailleurs votre démonstration est incorrecte.

Mais c'est la faute de l'énoncé, je suppose qu'il manque quelque chose.

[Gamma1902]

Merci pour ta réponse Tesil. Je vaix continuer sur cette voie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Merci pour ta réponse Tesil. Je vaix continuer sur cette voie.

Y compris avec l'erreur ?

[Gamma1902]

Bonsoir Mediat, non j'ai vérifié j'ai copié l'énoncé exactement comme il est écrit :/
Où est ce qu'il y aurait une erreur ?

[Médiat]

La démonstration de TesiI présuppose que l'opération est associative sur G', il aurait dû écrire

y1 * y2 = (a^-1 * x1 * a) * (a^-1 * x2 * a), mais sans associativité on ne peut aller plus loin.

[TesiI]

La démonstration de TesiI présuppose que l'opération est associative sur G', il aurait dû écrire

y1 * y2 = (a^-1 * x1 * a) * (a^-1 * x2 * a), mais sans associativité on ne peut aller plus loin.

Effectivement j'ai omis ce détail. Merci pour la correction !

[Gamma1902]

Mais donc cela signifie que G n'est pas associatif c'est ça ?

[Médiat]

G si, mais G' on ne sait pas.

[TesiI]

Mais donc cela signifie que G n'est pas associatif c'est ça ?

Il faut probablement supposer que G' est associatif pour continuer.

[PlaneteF]

Bonsoir,

Je ne vais nullement défendre l'énoncé sur ce point à propos de l'associativité, je me suis moi-même posé la question en lisant l'énoncé.

Après, dans la mesure où l'énoncé écrit sans mettre la moindre parenthèse, on peut implicitement supposer cette associativité partout, car sinon il aurait fallu écrire ou bien .

Mais bon, énoncé pas suffisamment explicite sur ce point, pas de doute là-dessus à mon sens

Cordialement

[Médiat]

Bonsoir PlaneteF

La propriété est moins forte que l'associativité (surtout pour un fixé)

[PlaneteF]

Bonsoir Médiat,

La propriété est moins forte que l'associativité (surtout pour un fixé)

+1 Oui, j'ai écrit mon précédent message dans l'esprit "qui peut le plus, peut le moins", ce qui me fait naturellement souscrire à ta remarque.

Cordialement