Polynôme

[invitef9fba5a3]

Bonjour à tous,
Je suis actuellement bloqué sur un exercice de l'aide serait la bienvenue merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me répondre.

On pose P(x)= x^4 -5x^3 + 9x^2 -15x +18
On rappelle les relations entre les racines (α, β , γ et δ ) de ce polynôme et les coefficients du polynôme de degre 4 :
P(x)= x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d

Système * :

α + β + γ + δ = -a
αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = b
αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = -c
αβγδ = d

Questions :

1) Résoudre le système
x+y =5
xy=6

2) Soit P(x)= x^4 -5x^3 + 9x^2 -15x +18. Écrire le système * pour ce polynôme et on appellera α, β , γ et δ ses racines.

3) Sachant que αβ= 6 trouver les racines de P(x)

4) En déduire la factorisation de P(x).

Voilà pour les question si jamais je vous ai mis la question 1) mais j'y ai répondu jai trouvé une equation du second degré avec deux solution x1 = 2 et x2 = 3.
La question 4) jai fait une division euclidienne pour factoriser jai trouve (x-2)(x-3)(x^2+3) mais par contre cela répond à la question 4 or les question 2 et 3 je bloque totalement.
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[CARAC8B10]

(1) α + β + γ + δ = 5
(2) αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ = 9
(3) αβγ + αβδ + αγδ + βγδ = 15
(4) αβγ=18

En portant la valeur de αβ dans (4) : γδ = 3
En portant ces valeurs dans (3) :
(γ+ δ)+3(α+β)=15
Et avec (1) on obtient le système de 2 équations d'inconnues α+β et β+γ :
3(α+β)+ 6(γ+ δ)=15
(α + β) + (γ + δ) = 5
Qu'on résout
--> α + β = 5 et α β = 6 système que tu as déjà résolu en 1)

[CARAC8B10]

Lire ; (4) αβγδ = 18

[invitef9fba5a3]

Ah ok je vois merci ! Par contre sachant que αβ =6 comment on peut en tirés les racines je vois pas le rapport ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef9fba5a3]

En portant la valeur de αβ dans (4) : γδ = 3
En portant ces valeurs dans (3) :
(γ+ δ)+3(α+β)=15

Dans cette phrase tu as pas oublié le 6 :
6(γ+ δ)+3(α+β)=15

[CARAC8B10]

A

h ok je vois merci ! Par contre sachant que αβ =6 comment on peut en tirer les racines je vois pas le rapport ?

Tu as résolu :
xy = 6
x+y = 3 et tu ne sais pas résoudre
αβ = 6
α+β=5
!!!

[invitef9fba5a3]

Mais oui je suis con si on résout le système c'est la même question que la 1) ça fait deux solutions 2 et 3 soit les 2 racines du polynôme (x-2)(x-3). Merci en tout cas apres avoir passé du temps sur cette exos je savais même plus ou jen étais.