frontière intérieur et vide

[invite270c37bc]

Bonsoir, je m'en remets à vous car je suis confus et je ne sais pas quoi faire avec ces notions de topologie...
J'ai un problème sur ce point :

comment démontrer que l'intérieur de la frontière d'un ouvert (resp fermé) est vide ?
J'ai fait cette preuve :
bord de A = adh(A)\ int A
int bord de A = int ( Adh A \int A ) = Adh A \Adh A = vide.

Mais je ne vois pas pourquoi cette preuve ne marche que pour des ouverts ou des fermées.

De plus, sur wikipedia ils passent par l'intersection de l’adhérence de A et de l'adhérence de son complémentaire, mais je ne comprends pas les étapes. Auriez vous l'amabilité de m'écrire la preuve (de 3 lignes ...) en commençant par bord de A = adh A \inter adh (A complémentaire)?


De plus, je n'ai pas d'exemple de frontière vide... Est ce que une frontière est vide parce que dans la topologie considérée, elle ne contient pas d'ouvert ? Comme une ligne est d'intérieur vide dans un plan?

Mais alors, que signifie la frontière de la frontière ? en effet, apparemment la frontière de la frontière n'est pas égale à la frontière dans des cas où l'ensemble n'est ni fermé ni ouvert... pourtant si je prends l'exemple d'un disque duquel on enlève une partie du bord, on voit que la frontière de la frontière vaut la frontière, qu'est ce qu'il cloche?


je vous remercie et vous souhaite une agréable soirée!
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[pm42]

Essaie avec les rationnels dans R : ni ouvert, ni fermé.
Quel est leur frontière ? La frontière de la frontière ?

[gg0]

Bonjour.

Ta preuve ne prouve rien !! Quelle règle mathématique te permet d'écrire " int ( Adh A \int A ) = Adh A \Adh A " ????

On ne peut pas faire de la topologie en se contentant d'écrire sans raison. Il y a trop d'évidences qui ne sont que des erreurs.

Il serait bon que tu construises, par exemple pour A ouvert, lune preuve effective du fait que la frontière de A est d'intérieur vide.

Cordialement.

[invite9dc7b526]

De plus, je n'ai pas d'exemple de frontière vide...

considère la partie vide, elle est à la fois ouverte et fermée, donc égale à son intérieur et à son adhérence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

Alors oui l'exemple de Q dans R est effectivement quelque chose qui me trouble aussi. Serait ce possible que vous ecriviez un petit recap? J'ai essayé de comprendre une partie de la journée de hier sans succès, et là pour l'instant je ne vois pas en quoi vos exemples et conseils vont pouvoir me faire avancer malheureusement... Etant donné que c'est confus parmis toutes ces propositions et ces preuves, contre exemples etc... J'ai besoin d'une vision globale que je n'arrive pas encore à extraire.

Pour répondre à votre question gg0, j'ai prouve que

X \ Adh A = int ( X\A)... J'ai juste appliqué la formule.

Alors il est vrai (je me rends compte maintennt) que j'ai aussi utilisé le fait que adh int A = adh A. Peut etre il y a til des contres exemples. Ça non plus je n'ai pas reussi à trouver quelque chose de clair pour quand est ce que adh et interieur s'annule entre eux.

Merci

[invite9dc7b526]

Il faut voir que dans R (muni de la topologie usuelle) un ouvert est une réunion d'intervalles ouverts (qui sont les boules ouvertes pour la distance usuelle). Q est d'intérieur vide puisqu'il ne contient aucun intervalle ouvert (car entre 2 rationnels il y a toujours un irrationnel).

[gg0]

"J'ai juste appliqué la formule." ?? Ben non !
Apparemment tu dis le contraire immédiatement après !
" j'ai aussi utilisé le fait que adh int A = adh A. Peut etre il y a til des contres exemples" Ben oui, PM t'a proposé de regarder avec Q sous ensemble de R muni de la topologie habituelle. Sérieusement, si tu n'arrives pas à faire ce cas-là, laisse tomber la topologie et reprends les bases des mathématiques de L1. on y apprend qu'entre deux rationnels, il y a une infinité de réels et entre deux réels une infinité de rationnels.

Bonne réflexion personnelle !