Composé de deux fonctions et identité

[invitecebf7dc9]

Bonjour,
Ma question est : est-ce que qqun aurait un exemple pour fog(x)=x avec g différent de f^-1.
Et un autre si fog=gof=x.
En fait j’essaye de répondre à ka question si fog=x , est-ce que g nécessairement est f^-1.
Merci d’avance
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[gg0]

Bonjour.

Comme on ne sait pas de quoi tu parles, ce que sont f, g et x, difficile de t'aider. précise ce que sont ces fonctions (de quel ensemble dans quel ensemble ? applications, ou seulement fonctions ? ...)

Cordialement.

[slivoc]

Bonjour,

En prenant g l' inclusion de {1} dans {1,2} et f l' application qui va de {1,2} dans {1} qui envoie tout sur 1. On peut faire ( à peu près) la même chose avec des espaces vectoriels et des applications linéaires.

[invite9dc7b526]

En fait j’essaye de répondre à ka question si fog=x , est-ce que g nécessairement est f^-1.

on ne parle de f^-1 que si f est bijective, mais si f est seulement surjective, alors un axiome de la théorie de ensembles dit en substance (car je ne me souviens plus de la formulation exacte) qu'il existe nécessairement un g tel que fog(x)=x pour tout x

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Pour rendre f injective , on la force par la relation d'équivalence {1,2}/~ (1~2 <=> f(1)=f(2)), i.e , au lieu de passer par f à {1} , on passe par h à {1,2}/~ puis par f' à {1} ,f=f'oh , fog=(f'oh)og .

[azizovsky]

En fait j’essaye de répondre à la question si fog=x , est-ce que g nécessairement est f^-1.
Merci d’avance

Oui( possible notation inverser: traditions), pour démontrer la bijectivité (f^{-1}=g)on passe par le lemme que si f : X--->Y ,g: Y--->x telles que gf=Id, alors f est injective et g surjective.

[azizovsky]

correction: on doit avoir les deux: fg=Id(Y) et gf=Id(X) avec le lemme, on démontre que f est à la fois surjective et injective (bijective) .

[invitecebf7dc9]

Je parle de fonctions, pour être clair par exemple quel serai une fct g tel que fog(x)=x tel que f ps forcément bijection donc n’admet pas de f^-1 (je veux juste un exemple de deux fonctions explicites qui verifient fog une identité sans que les deux soient bijectives)

[azizovsky]

correction: on doit avoir les deux: fg=Id(Y) et gf=Id(X) avec le lemme, on démontre que f est à la fois surjective et injective (bijective) .

[invite9dc7b526]

Je parle de fonctions, pour être clair par exemple quel serai une fct g tel que fog(x)=x tel que f ps forcément bijection donc n’admet pas de f^-1 (je veux juste un exemple de deux fonctions explicites qui verifient fog une identité sans que les deux soient bijectives)

tu prends f:R -> R+ telle que f(x)= x^2 et g:R+ -> R+ avec g(x)=racine carrée positive de x. g est bijective mais pas f (mais elle est surjective).