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[L1] Démontrer qu'un ensemble est infini




  1. #1
    naegiko

    [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Bonjour à tous,

    Je viens de débuter les cours de topologie, j'essaie de faire les démonstrations seul avant de voir celles du professeur, face à un exercice j'en ai formulé une mais je ne sais pas si elle est correcte. Je vous serais extrêmement reconnaissant de m'aider à savoir si elle l'est.

    Le sujet est :

    On note alpha = sup A. avec A une partie de R non vide, majorée.

    Montrer que pour tout epsilon > 0, l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est infinie.

    Ma démonstration:


    Soit epsilon > 0.
    Supposons que l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est finie.
    On note B = ] alpha - epsilon, alpha [

    On définit la suite (ln) telle que:
    l0 = (alpha - epsilon + alpha)/ 2 , l1 = (alpha - epsilon+l0)/2, l2 = (alpha - epsilon + l1) /2, ... , ln = (alpha - epsilon + ln-1)/2.
    Comme l'intersection entre A et B est finie, alors (ln) admet un nombre fini d'éléments. Notons le rang M tel que lM+1 (M appartenant à l'ensemble des entiers naturels N), est supposé indéfini.
    Or lM+1 = (alpha - epsilon + lM) / 2 , donc lM+1 appartient à B.
    Donc (ln) n'est pas finie. Donc B n'est pas fini. Donc l'intersection entre A et B est infinie.

    Voilà, encore merci beaucoup d'avance.

    -----


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  3. #2
    minushabens

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    si tu prends A={0}, c'est une partie de R majorée mais tu vas avoir du mal à montrer que son intersection avec une autre partie de R est infinie.

  4. #3
    ansset

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Oui, clairement, l'énoncé est incomplet sur la nature de A !
    Dernière modification par ansset ; 28/01/2019 à 17h05.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !


  5. #4
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Excusez moi :/ J'ai beau m'être relu plusieurs fois j'ai oublié de mentionner que A ne possède pas de plus grand élément.

  6. #5
    ansset

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    ça reste insuffisant, qu'en est-il de alpha par exemple ?
    Dernière modification par ansset ; 28/01/2019 à 17h10.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Bonjour.

    Avec cette hypothèse, ça se fait en quelques lignes. Je reprends ce que tu as écrit :
    Soit epsilon > 0.
    Supposons que l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est finie.
    Alors si a est le plus grand élément de cette intersection, qu'on nomme I :
    * Alpha n'appartient pas à A, puisque A n'a pas de plus grand élément
    * Les éléments de A étant inférieurs à alpha, soit soit inférieurs ou égaux à alpha - epsilon (donc à a) soit dans I (donc inférieurs à a)
    donc a est le plus grand élément de A, ce qui est faux.
    Conclusion ...

    Cordialement.

    NB : La "démonstration" que tu avais proposée n'utilisant pas cette hypothèse indispensable, est manifestement fausse. Je te laisse chercher toi-même ce qui coince, j'ai du mal à la suivre (il y a des passages où je ne sais pas pourquoi tu conclus !)

  9. #7
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Bonjour Ansset, voici une image du sujet (il s'agit de l'exercice 5):
    IMG_1533[1].jpg

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  11. #8
    gg0

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Une autre façon de faire serait de construire une suite d'éléments de a qui converge vers alpha :
    * alpha n'est pas dans A
    * par définition du sup, il y a un élément de A dans; notons le
    * par récurrence, supposons défini, appartenant à A et tel que . Soit . Il existe un tel que
    Par construction, la suite des est croissante, et converge vers . Et dans tout intervalle il y a une infinité de termes de la suite, donc une infinité d'éléments de A.

    Cordialement.

    NB : Il y a des passages non justifiés, mais tu peux les prouver facilement.

  12. #9
    ansset

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    edit ; devenu inutile.
    Dernière modification par ansset ; 28/01/2019 à 17h29.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Aaah je vois, j'ai encore du boulot on dirait; c'est extrêmement frustrant de ne pas savoir si sa démonstration a un sens contrairement à l'informatique où l'ordinateur vous montre très clairement s'il comprend ou non. En tout cas je sens que je m'améliore petit à petit grâce à vous.

    Encore une fois je vous remercie profondément, gg0 et Ansset de m'avoir aidé

  14. #11
    gg0

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    En fait, on peut parfaitement savoir qu'une démonstration est correcte (*) : Chaque étape est l'application stricte d'une règle de mathématique (définition, théorème, règle de calcul, ...) ou logique (réécriture, négation, ..). dans ta rédaction primitive, la phrase "Comme l'intersection entre A et B est finie, alors (ln) admet un nombre fini d'éléments." n'est pas de ce genre, d'ailleurs tu n'as rien dit du lien entre A et les In.
    C'est là dessus que tu dois progresser, en vérifiant :
    * Que ce que tu écris est compréhensible par d'autres (pas de choses notées seulement dans ta tête.
    * Que chaque passage est correct.

    Et c'est généralement plus simple que la programmation, où sans des habitudes de travail du même genre, les programmes sont simplement des bidouilles jamais totalement débuggées. Or obtenir un algorithme correct est en fait une forme de problème mathématique, et traduire en programme demande exactement les mêmes soins que ce que j'écris au dessus : application stricte des définitions du langage - je parle évidemment de vrai programme, pas de petits bouts pour débutants, analogues aux maths de primaire (**).

    Cordialement.

    (*) savoir si elle a un sens relève du français (de la maîtrise de la langue de rédaction), donc on se contente de phrases simples, et de liens logiques élémentaires ("or", "donc", ..). Et de mots parfaitement maîtrisés. Ta phrase ". Notons le rang M tel que lM+1 (M appartenant à l'ensemble des entiers naturels N), est supposé indéfini" est un excellent contre-exemple, entre les défauts de rédaction (IM+1) et le mot non mathématique, et très flou en français "indéfini".
    (**) exemple de vrai programme : créer un traceur de courbes qui accepte les entrées sous forme algébrique, du genre f(x)=(x+2)/(ln(x+1)-x^2)

  15. #12
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Je viens de noter tous vous conseils sur mon "cahier pour progresser en maths". Vos conseils sont un vrai trésor, je suis vraiment content d'avoir désormais une piste pour savoir comment bien progresser, merci énormément à vous!!

  16. #13
    minushabens

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    annulé (inepsies...)
    Dernière modification par minushabens ; 31/01/2019 à 09h29.

  17. #14
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Bonjour monsieur,

    En tenant compte de vos conseils j'ai essayé de formuler une autre démonstration :

    Soit A une partie de R majorée qui n'admet pas de plus grand élément.
    Notons sa borne supérieure et I l'intersection entre A et ] - , [

    (1) Par définition de la borne supérieure :
    > 0, il existe x > - (avec x un élément de A).

    (2) Par définition de la borne supérieure, il existe une suite d'éléments ( ) (n un entier naturel non nul) qui converge vers .
    Essayons de la construire tel que différent de si m différent de M et - < < .

    D'après la propriété (1):

    Soit = ( /2) > 0, alors il existe > > - ( / 2)

    De même : soit = ( /4) > 0, alors il existe > > - ( / 4)
    De même : soit = ( /8) > 0, alors il existe > > - ( / 8)

    On construit donc notre suite () telle que:
    pour = / (2*n) il existe > > - /(2*n)

    Démontrons que la suite () tend vers .

    (ci-dessous petit bémol avec le latex les n+1/ n-1 sont des indices)
    Soit n un rang quelconque
    Soit = ( / (2*(n+1)) ) il existe > > - (/(2*(n+1) )
    et soit = ( / (2*(n-1)) ) il existe > > - (/((2*n)) ).
    Donc > > > > - (/2)

    De fait, on a: - (/(2*(n+1) ) > > - (/2*(n-1))
    D'après le théorème d'encadrement, () tend vers .

    De fait, () admet une infinité de termes dans ] - , [
    D'où on peut conclure que l'intersection I est infinie.

    Si je devais faire de l'auto-critique sur ma démonstration, je dirais qu'il faudrait que je justifie plus rigoureusement ma relation . La manière dont je détermine la limite me semble aussi peu rigoureuse (et peut être aussi même la conclusion, il aurait peut-être été plus judicieux de dire que la suite est strictement croissante et converge vers ). Comme vous me l'aviez dit, cette fois je me suis basé sur des théorèmes/propriétés que j'ai essayé d'articuler, néanmoins je crois que mon raisonnement n'est pas encore tout à fait rigoureux et clair.

    Merci beaucoup d'avance monsieur.
    Dernière modification par naegiko ; 31/01/2019 à 20h15.

  18. #15
    Tryss2

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Il y a une erreur critique , qui fait que ta démonstration que la suite converge est fausse :

    n'est pas forcément plus grand que . En effet, , donc peut parfaitement être dans

    Le plus simple ici, pour prouver que la suite que tu as défini est convergente, c'est de prouver qu'elle est de Cauchy, ce qui n'est pas bien dur

  19. #16
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Grrr, en effet, j'ai pas fait attention Je ne connais pas les suites de Cauchy je vais me renseigner. Merci de ton aide Tryss2, maintenant je comprends pourquoi mon prof de TD dans sa démonstration avait posé epsilon en fonction de x_n-1. Encore merci et bonne soirée

  20. #17
    Tryss2

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    En fait, absolument nul besoin des suites de Cauchy pour ça (je ne sais pas pourquoi j'ai pensé à ça direct).

    La simple définition de x_n converge vers a suffit :

    converge vers si

    Mais il est très facile de majorer |x_n - \alpha |, et donc trouver le n0 qui convient

  21. #18
    minushabens

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Autre chose qui ne va pas bien dans la démonstration proposée: aux points 1) et 2) on lit "par définition de la borne supérieure..." et on trouve deux caractérisations différentes. Rien n'est faux mais on se demande quelle est la définition de la borne supérieure utilisée ici.

  22. #19
    naegiko

    Re : [L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

    Oui, merci Tryss2 pour la remarque, mon professeur de TD avait construit une suite strictement croissante grâce à la caractérisation de la borne supérieure et qui tend vers un peu comme moi mais de manière différente car il a posé = - ect.. et en remplaçant on peut exprimer > .

    D'accord Minushabens, merci également à toi pour cette remarque, je ferais plus attention.

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