[L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

**naegiko** · 28/01/2019, 15h00

Bonjour à tous,

Je viens de débuter les cours de topologie, j'essaie de faire les démonstrations seul avant de voir celles du professeur, face à un exercice j'en ai formulé une mais je ne sais pas si elle est correcte. Je vous serais extrêmement reconnaissant de m'aider à savoir si elle l'est.

Le sujet est :

On note alpha = sup A. avec A une partie de R non vide, majorée.

Montrer que pour tout epsilon > 0, l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est infinie.

Ma démonstration:

Soit epsilon > 0.
Supposons que l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est finie.
On note B = ] alpha - epsilon, alpha [

On définit la suite (ln) telle que:
l0 = (alpha - epsilon + alpha)/ 2 , l1 = (alpha - epsilon+l0)/2, l2 = (alpha - epsilon + l1) /2, ... , ln = (alpha - epsilon + ln-1)/2.
Comme l'intersection entre A et B est finie, alors (ln) admet un nombre fini d'éléments. Notons le rang M tel que lM+1 (M appartenant à l'ensemble des entiers naturels N), est supposé indéfini.
Or lM+1 = (alpha - epsilon + lM) / 2 , donc lM+1 appartient à B.
Donc (ln) n'est pas finie. Donc B n'est pas fini. Donc l'intersection entre A et B est infinie.

Voilà, encore merci beaucoup d'avance.

**minushabens** · 28/01/2019, 15h26

si tu prends A={0}, c'est une partie de R majorée mais tu vas avoir du mal à montrer que son intersection avec une autre partie de R est infinie.

**ansset** · 28/01/2019, 16h03

Oui, clairement, l'énoncé est incomplet sur la nature de A !

**naegiko** · 28/01/2019, 16h05

Excusez moi :/ J'ai beau m'être relu plusieurs fois j'ai oublié de mentionner que A ne possède pas de plus grand élément.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**ansset** · 28/01/2019, 16h08

ça reste insuffisant, qu'en est-il de alpha par exemple ?

**gg0** · 28/01/2019, 16h14

Bonjour.

Avec cette hypothèse, ça se fait en quelques lignes. Je reprends ce que tu as écrit :

Soit epsilon > 0.
Supposons que l'intersection entre A et ] alpha - epsilon, alpha [ est finie.

Alors si a est le plus grand élément de cette intersection, qu'on nomme I :
* Alpha n'appartient pas à A, puisque A n'a pas de plus grand élément
* Les éléments de A étant inférieurs à alpha, soit soit inférieurs ou égaux à alpha - epsilon (donc à a) soit dans I (donc inférieurs à a)
donc a est le plus grand élément de A, ce qui est faux.
Conclusion ...

Cordialement.

NB : La "démonstration" que tu avais proposée n'utilisant pas cette hypothèse indispensable, est manifestement fausse. Je te laisse chercher toi-même ce qui coince, j'ai du mal à la suivre (il y a des passages où je ne sais pas pourquoi tu conclus !)

**naegiko** · 28/01/2019, 16h16

Bonjour Ansset, voici une image du sujet (il s'agit de l'exercice 5):
Nom : IMG_1533[1].jpg
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**gg0** · 28/01/2019, 16h27

Une autre façon de faire serait de construire une suite d'éléments de a qui converge vers alpha :
* alpha n'est pas dans A
* par définition du sup, il y a un élément de A dans $\text{[math]}$ ; notons le $\text{[math]}$
* par récurrence, supposons $\text{[math]}$ défini, appartenant à A et tel que $\text{[math]}$ . Soit $\text{[math]}$ . Il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$
Par construction, la suite des $\text{[math]}$ est croissante, et converge vers $\text{[math]}$ . Et dans tout intervalle $\text{[math]}$ il y a une infinité de termes de la suite, donc une infinité d'éléments de A.

Cordialement.

NB : Il y a des passages non justifiés, mais tu peux les prouver facilement.

**ansset** · 28/01/2019, 16h28

edit ; devenu inutile.

**naegiko** · 30/01/2019, 18h57

Aaah je vois, j'ai encore du boulot on dirait; c'est extrêmement frustrant de ne pas savoir si sa démonstration a un sens contrairement à l'informatique où l'ordinateur vous montre très clairement s'il comprend ou non. En tout cas je sens que je m'améliore petit à petit grâce à vous.

Encore une fois je vous remercie profondément, gg0 et Ansset de m'avoir aidé

**gg0** · 30/01/2019, 19h56

En fait, on peut parfaitement savoir qu'une démonstration est correcte (*) : Chaque étape est l'application stricte d'une règle de mathématique (définition, théorème, règle de calcul, ...) ou logique (réécriture, négation, ..). dans ta rédaction primitive, la phrase "Comme l'intersection entre A et B est finie, alors (ln) admet un nombre fini d'éléments." n'est pas de ce genre, d'ailleurs tu n'as rien dit du lien entre A et les In.
C'est là dessus que tu dois progresser, en vérifiant :
* Que ce que tu écris est compréhensible par d'autres (pas de choses notées seulement dans ta tête.
* Que chaque passage est correct.

Et c'est généralement plus simple que la programmation, où sans des habitudes de travail du même genre, les programmes sont simplement des bidouilles jamais totalement débuggées. Or obtenir un algorithme correct est en fait une forme de problème mathématique, et traduire en programme demande exactement les mêmes soins que ce que j'écris au dessus : application stricte des définitions du langage - je parle évidemment de vrai programme, pas de petits bouts pour débutants, analogues aux maths de primaire (**).

Cordialement.

(*) savoir si elle a un sens relève du français (de la maîtrise de la langue de rédaction), donc on se contente de phrases simples, et de liens logiques élémentaires ("or", "donc", ..). Et de mots parfaitement maîtrisés. Ta phrase ". Notons le rang M tel que lM+1 (M appartenant à l'ensemble des entiers naturels N), est supposé indéfini" est un excellent contre-exemple, entre les défauts de rédaction (IM+1) et le mot non mathématique, et très flou en français "indéfini".
(**) exemple de vrai programme : créer un traceur de courbes qui accepte les entrées sous forme algébrique, du genre f(x)=(x+2)/(ln(x+1)-x^2)

**naegiko** · 30/01/2019, 21h56

Je viens de noter tous vous conseils sur mon "cahier pour progresser en maths". Vos conseils sont un vrai trésor, je suis vraiment content d'avoir désormais une piste pour savoir comment bien progresser, merci énormément à vous!!

**minushabens** · 31/01/2019, 08h27

annulé (inepsies...)

**naegiko** · 31/01/2019, 19h13

Bonjour monsieur,

En tenant compte de vos conseils j'ai essayé de formuler une autre démonstration :

Soit A une partie de R majorée qui n'admet pas de plus grand élément.
Notons $\text{[math]}$ sa borne supérieure et I l'intersection entre A et ] $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ [

(1) Par définition de la borne supérieure :
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ > 0, il existe x > $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ (avec x un élément de A).

(2) Par définition de la borne supérieure, il existe une suite d'éléments ( $\text{[math]}$ ) (n un entier naturel non nul) qui converge vers $\text{[math]}$ .
Essayons de la construire tel que $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ si m différent de M et $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ .

D'après la propriété (1):

Soit $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ /2) > 0, alors il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ / 2)

De même : soit $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ /4) > 0, alors il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ / 4)
De même : soit $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ /8) > 0, alors il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ / 8)

On construit donc notre suite ( $\text{[math]}$ ) telle que:
pour $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ / (2*n) il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ /(2*n)

Démontrons que la suite ( $\text{[math]}$ ) tend vers $\text{[math]}$ .

(ci-dessous petit bémol avec le latex les n+1/ n-1 sont des indices)
Soit n un rang quelconque
Soit $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ / (2*(n+1)) ) il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ /(2*(n+1) )
et soit $\text{[math]}$ = ( $\text{[math]}$ / (2*(n-1)) ) il existe $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ /((2*n)) ).
Donc $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ /2)

De fait, on a: $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ /(2*(n+1) ) > $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ - ( $\text{[math]}$ /2*(n-1))
D'après le théorème d'encadrement, ( $\text{[math]}$ ) tend vers $\text{[math]}$ .

De fait, ( $\text{[math]}$ ) admet une infinité de termes dans ] $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ [
D'où on peut conclure que l'intersection I est infinie.

Si je devais faire de l'auto-critique sur ma démonstration, je dirais qu'il faudrait que je justifie plus rigoureusement ma relation $\text{[math]}$ . La manière dont je détermine la limite me semble aussi peu rigoureuse (et peut être aussi même la conclusion, il aurait peut-être été plus judicieux de dire que la suite $\text{[math]}$ est strictement croissante et converge vers $\text{[math]}$ ). Comme vous me l'aviez dit, cette fois je me suis basé sur des théorèmes/propriétés que j'ai essayé d'articuler, néanmoins je crois que mon raisonnement n'est pas encore tout à fait rigoureux et clair.

Merci beaucoup d'avance monsieur.

**Tryss2** · 31/01/2019, 19h49

Il y a une erreur critique , qui fait que ta démonstration que la suite $\text{[math]}$ converge est fausse :

$\text{[math]}$ n'est pas forcément plus grand que $\text{[math]}$ . En effet, $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ peut parfaitement être dans $\text{[math]}$

Le plus simple ici, pour prouver que la suite que tu as défini est convergente, c'est de prouver qu'elle est de Cauchy, ce qui n'est pas bien dur

**naegiko** · 31/01/2019, 20h00

Grrr, en effet, j'ai pas fait attention

Je ne connais pas les suites de Cauchy je vais me renseigner. Merci de ton aide Tryss2, maintenant je comprends pourquoi mon prof de TD dans sa démonstration avait posé epsilon en fonction de x_n-1. Encore merci et bonne soirée

**Tryss2** · 31/01/2019, 21h47

En fait, absolument nul besoin des suites de Cauchy pour ça (je ne sais pas pourquoi j'ai pensé à ça direct).

La simple définition de x_n converge vers a suffit :

$\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$

Mais il est très facile de majorer |x_n - \alpha |, et donc trouver le n0 qui convient

**minushabens** · 01/02/2019, 07h29

Autre chose qui ne va pas bien dans la démonstration proposée: aux points 1) et 2) on lit "par définition de la borne supérieure..." et on trouve deux caractérisations différentes. Rien n'est faux mais on se demande quelle est la définition de la borne supérieure utilisée ici.

**naegiko** · 01/02/2019, 17h41

Oui, merci Tryss2 pour la remarque, mon professeur de TD avait construit une suite strictement croissante grâce à la caractérisation de la borne supérieure et qui tend vers $\text{[math]}$ un peu comme moi mais de manière différente car il a posé $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ect.. et en remplaçant on peut exprimer $\text{[math]}$ > $\text{[math]}$ .

D'accord Minushabens, merci également à toi pour cette remarque, je ferais plus attention.

[L1] Démontrer qu'un ensemble est infini

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