homéomorphisme mais pas difféomorphisme

[frobenius]

Bonjour à tous,

En lisant wikipedia, je suis tombé la dessus :

L'application x ↦ x³, de classe C^∞, est un homéomorphisme de ℝ dans ℝ mais pas un difféomorphisme, car sa dérivée en 0 est nulle.

En quoi le fait que la dérivée soit nulle en zéro empêche que cette fonction soit un difféomorphisme?

Merci.
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[invite23cdddab]

Parce que si la dérivée est nulle, la réciproque n'est pas différentiable en l'image de ce point

[frobenius]

Effectivement après vérification, la fonction racine cubique n'a pas l'air dérivable en 0 donc pas différentiable, c'est ce que tu voulais dire non?
Du coup, c'est un homéo pas pas un difféo

[stefjm]

Ben oui, cela s'intuite d'un coup d’œil avec un dessin :
x^3 tangente horizontale en 0
racine cubique : tangente verticale en 0+

[A voir en vidéo sur Futura]